Groupe de travail: Algèbres de Hopf et calcul moulien

Nous organisons un groupe de travail qui se réunira toutes les 2 semaines, le mardi de 14h15 à 16h45, à l'Observatoire de Paris (77, Av. Denfert Rochereau; métro/RER Denfert ou Port Royal), à compter du 9 octobre 2007.

Pour résoudre, à l'origine, des problèmes difficiles de classification de systèmes dynamiques à coefficients analytiques, Jean Ecalle (CNRS-Orsay) a défini des algèbres de fonctions dites résurgentes, sur lesquelles agissent de nombreuses dérivations: les dérivations étrangères. Pour calculer de façon efficace avec ces opérateurs – ou encore avec les pseudovariables qui leur sont, par dualité, associées – Ecalle a construit un environnement combinatoire adapté: le calcul moulien. Cette combinatoire peut se traduire avec profit dans le langage des algèbres de Hopf (graduées, complétées) et elle recoupe alors de nombreux travaux récents, dans un domaine où il y a beaucoup d'activité: algèbre des descentes, algèbres de Connes–Kreimer et Connes–Moscovici... Les constructions d'Ecalle ont de fait permis d'obtenir des avancées profondes mais elles mettent en oeuvre un système de notations sophistiqué et un langage nouveau, ce qui a limité jusqu'à maintenant la diffusion des résultats obtenus à l'aide de ces théories.

Dans ce groupe de travail, nous nous donnerons le temps de présenter en détail le calcul moulien et parallèlement nous développerons la théorie des algèbres de Hopf graduées complétées, depuis les résultats de base jusqu'à des papiers tout récents, concernant en particulier les algèbres de Hopf de la renormalisation.

Nous avons prévu les premiers exposés; les infos concernant ce GdT seront mises à jour sur la présente page. Par la suite, naturellement, nous préciserons le programme en fonction des participants. Nous souhaitons en particulier associer activement les étudiants qui seraient intéressés par les thèmes abordés, qui sont au coeur de nombreux travaux en développement en algèbre et en combinatoire, dans les systèmes dynamiques, mais aussi en théorie quantique des champs.

Toutes les personnes susceptibles de participer à ce GdT sont bien entendu invitées à prendre contact avec nous.

à 14h15 , exposé de J.-P. Ramis : Le q-analogue du groupe fondamental sauvage (pdf)

à 15h30, exposé de F. Menous : Mould Calculus, Combinatorial Hopf Algebras and the Jacobian Conjecture. (pdf)

Exposé de D. Sauzin : Introduction au calcul moulien - l'exemple du noeud-col

Aucune connaissance préalable du calcul moulien ou de la théorie des fonctions résurgentes n'est requise. On donnera les définitions de base du calcul moulien d'écalle, qui est un outil combinatoire livrant des formules étonnamment explicites pour les séries normalisantes associées à un champ de vecteurs ou un difféomorphisme local holomorphe. On considérera un exemple historiquement important (la classification analytique des germes de champs de vecteurs de C2 singuliers à l'origine formellement conjugués au système d'Euler {x' = x2, y' = x + y}, qui est lui-même l'exemple le plus simple d'une équation différentielle donnant naissance à une solution formelle divergente), sur lequel on s'efforcera de montrer les idées directrices de l'approche d'écalle. La transformation normalisante, solution d'une équation non linéaire, est donnée par une série formelle en (x,y). Le calcul moulien permet de mettre facilement en évidence son caractère résurgent par rapport à la variable 1/x (on expliquera ce que cela signifie et à quoi cela peut servir).

Suite de l'exposé du 9 octobre

à 14h30 , exposé de F. Fauvet : Arborification (I)

à 16h , exposé de V. Rivasseau (Orsay) : Séries divergentes en Théorie Quantique des Champs

à 14h15, exposé de F. Patras : Introduction aux algèbres de Hopf

à 15h30, exposé de J.-Y. Thibon : algèbres de Hopf combinatoires

à 14h15 , exposé de F. Patras : Introduction aux algèbres de Hopf (II)

à 15h30, exposé de D. Manchon : Décomposition de Birkhoff et renormalisation p our les algèbres de Hopf connexes

à 14h15, exposé de F. Fauvet : Arborification (II)

à 15h30, exposé de Minh Hoang: Polylogarithmes

à 14h15, exposé de F. Menous : Décomposition de Birkhoff des difféomorphismes formels tangents à l'identité et calcul moulien

Soit G le groupe des difféomorphismes formels en une variable, à un paramètre, tangents à l'identité, dont les coefficients sont des séries de Laurent formelles en le paramètre $arepsilon$ ayant un pôle d'ordre fini en 0. On peut définir la décomposition de Birkhoff dans un tel groupe. Je montrerai la stabilité par décomposition de Birkhoff de certains sous-groupes de G --en particulier certains sous-groupes dont les coefficients ont une croissance Gevrey-- en utilisant le calcul moulien et l'arborification-coarborification.
transparents (pdf)

à 15h30, exposé de L. Foissy : Arbres plans décorés, permutations, et structure dendriforme

Résumé : Nous décrivons l'algèbre de Hopf des arbres plans décorés ou non, puis l'algèbre de Hopf FQSym,
également appelée algèbre de Malvenuto-Reutenauer, basée sur les permutations.
En utilisant un scindement d'associativité et de coassociativité,
nous montrons que FQSym est isomorphe à une algèbre d'arbres plans décorés avec un certain ensemble de décorations.

à 14h15, exposé de F. Menous : Renormalisation pour les équations différentielles

Une maniere d'etudier certaines classes d'equations differentielles non lineaires est d'essayer des les conjuguer a leur partie lineaire a l'aide de diffeomorphismes tangents a l'identite. Le calcul de tels diffeomorphismes peut se faire grace au calcul moulien, i.e. en se ramenant au calcul d'un caractere sur une algebre de Hopf de battage. Il arrive que, meme formellement, on ne puisse conjuguer une equation a sa partie lineaire, ce qui se traduit par le fait que le caractere associe au diffeomorphisme est mal defini. Cette situation ressemble a celle rencontree en theorie quantique des champs et je montrerai sur un exemple comment le choix d'une certaine 'regularisation dimensionelle' permet de faire de la renormalisation pour les equations differentielles.

à 15h30, exposé de K. Ebrahimi-Fard : Solving Bogoliubov's recursion in renormalization

The Bogoliubov recursion is a particular procedure appearing in the process of renormalization in perturbative quantum field theory. In this talk we present a theory of functional identities for noncommutative Rota-Baxter algebras which is shown to encode, among others, this process in the context of Connes-Kreimer's Hopf algebra of renormalization. In the commutative case these identities can be understood as deriving from the theory of symmetric functions. We show that an analogous property holds for noncommutative Rota-Baxter algebras. That is, we show that functional identities in the noncommutative setting can be derived from the theory of noncommutative symmetric functions. Lie idempotents, and particularly the Dynkin idempotent play a crucial role in the process. As an application we present a closed formula for Bogoliubov's recursion in the context of Connes-Kreimer's Hopf algebra of renormalization. (Joint work with D. Manchon and F. Patras)

à 14h15, exposé de J. Écalle : Dimorphie des multizetas et trimorphie des hyperzetas. Le role des moules

L'anneau des hyperlogarithmes a ceci d'agreable qu'il est, pour sa taille modeste, remarquablement stable : pour le produit ordinaire et la convolution, pour deux familles de derivations exotiques, pour la postcomposition par des homographies, etc. Il a aussi ceci de fascinant qu'il est le siege de phenomenes arithmetiques inedits : "dimorphie" pour le sous-anneau des multizetas (lies aux polylogarithmes) et "trimorphie" pour celui des hyperzetas (lies aux hyperlogarithmes entiers). Il a enfin ceci d'instructif qu'il force a recourir a plusieurs moules nouveaux, soumis eux-memes a des operations mouliennes nouvelles. Nous tacherons de faire le point de la question, sans nous perdre dans le dedale des formules, mais en soulignant le role -- crucial ici -- de l'outil moulien.

à 15h30, séance animée par J. Écalle, F. Fauvet et F. Menous : Un premier bilan sur les moules

Nous tenterons de passer en revue les divers contextes (une petite douzaine a ce jour) ou le calcul moulien s'est revele utile, tout en cernant sur ces exemples ce qu'il peut apporter -- mais aussi ce qu'on ne doit pas en attendre... Puis nous tacherons de degager quelques perspectives d'avenir. La seance se voudra 'interactive' et nous comptons sur la participation des auditeurs.

à 14h15, exposé de B. Vallet : Arborification-coarborification

La transformation d'arborification-coarborification consiste a faire des regroupements particuliers au sein d'une serie multiple divergente. Dans leurs exposes precedents Frederic Fauvet et Frederic Menous ont montre son efficacite car elle permet d'etablir la convergence des developpements mouliens, decrivant l'automorphisme de linearisation d'un champ de vecteurs non resonnant, diophantien (F.F.), et la decomposition de Birkhoff d'un diffeomorphisme de (C,0) (F.M.). Je presenterai surtout, dans cet expose, les aspects combinatoires et algebriques de cette transformation qui sont nombreux et dans lesquels interviennent des fonctions definies sur les groupes symetriques (Travail commun avec Jean Ecalle).

à 15h30, exposé de F. Chapoton : Algèbres pré-Lie et champs de vecteurs

On sait depuis longtemps qu'il existe un rapport entre les arbres enracinés et les champs de vecteurs. Butcher a notamment utilisé cette relation en analyse numérique, en introduisant une structure de groupe sur les méthodes de Runge-Kutta. On expliquera comment le lien le plus direct entre arbres et champs de vecteurs passe par la notion d'algèbre pré-Lie. On parlera éventuellement de la conjecture décrivant les moules eupolaires alternaux en termes d'arbres enracinés.

à 14h15, exposé de B. Vallet : Prenormalisations continues et developpements mouliens

Je parlerai des motivations qui ont conduit a la construction des formes prenormales continues de champs de vecteurs, a justifier l'interet de certaines par rapport a d'autres, et a montrer leur inevitable divergence generique, meme lorsque le champ de vecteur possede une forme normale elementaire.

à 15h30, exposé de M. Gubinelli : Arbres pour des équations différentielles généralisées

On introduira quelques idées de la théorie des chemins rugueux qui permet de résoudre certaines équations différentielles (en dimension finie ou infinie) contrôlées par des signaux non-réguliers (e.g. des trajectoires browniennes) et l'on montrera comment les arbres enracinés avec leur algèbre de Hopf interviennent de façon naturelle. Éventuellement on parlera aussi de la relation avec les schémas de Runge-Kutta pour la solution approchée des équations différentielles.

à 14h15 , exposé de F. Patras : Algèbres de descentes et calcul moulien

à 15h30, exposé de F. Hivert : Un calcul d'opérateurs pour l'opérade des moules

Cet exposé est extrait de travaux en commun avec F. Chapoton, J.-C. Novelli et J.-Y. Thibon. Nous montrerons différentes interactions entre les moules et certaines généralisations de la notion de séries génératrices. En particulier, nous essayerons de dresser un parallèle entre l'arborification des moules, les algèbres de Hopf combinatoires des permutations et des arbres binaires et les opérades zinbiel et dendriforme.