LES PASSAGES DE MERCURE ET DE VÉNUS DEVANT LE SOLEIL
CRITÈRES POUR QU'UN PASSAGE SOIT OBSERVABLE

1. Calcul de la taille des cônes d'ombre et de pénombre

La géométrie du problème est relativement simple. Si on désigne par r la distance Soleil-planète, s0 le rayon du Soleil, sp le rayon de la planète, a1 et a2 les distances de la planète au sommet du cône de pénombre et au sommet du cône d'ombre, f1 et f2 étant les demi-angles au sommet de ces deux cônes et L1 et L2 les rayons des cônes de pénombre et d'ombre à la distance de une unité astronomique du Soleil.

On a, entre ces paramètres, les relations suivantes :

tg f1 = (s0 + sp) /  r a1 = r × sp  / (s0+sp) L1 = (1 - (r - a1) )× tg f1.
tg f2 = (s0 - sp) /  r a2 = r × sp  / (s0-sp) L2 = (1 - (r + a2) )× tg f2.
avec

Soleil Mercure Vénus
s0 = 696000 km sp = 2439.7 km sp = 6051.8 km

Le tableau suivant donne les caractéristiques physiques des cônes d'ombre et de pénombre pour le passage de la Terre au voisinage des nœuds descendant et ascendant de l'orbite de Mercure. Les rayons des cônes d'ombre et de pénombre à une unité astronomique sont donnés en rayon terrestre (R). Ces caractéristiques, qui peuvent varier légèrement suivant les passages, donnent une bonne estimation de l'échelle du phénomène. Les valeurs du tableau ont été calculées pour le 7 mai 2003 (prochain passage au nœud descendant) et pour le 8 novembre 2006 (prochain passage par le nœud ascendant).

On constate que les rayons des cônes d'ombre et de pénombre à une unité astronomique, c'est-à-dire au niveau de l'orbite terrestre, sont de l'ordre de 133 et de 237 rayons terrestres, cela explique la très faible probabilité d'obtenir des passages centraux.

Planète Mercure Passage de la Terre au voisinage du nœud descendant de l'orbite de Mercure (7 mai 2003) Passage de la Terre au voisinage du nœud ascendant de l'orbite de Mercure (8 novembre 2006)
r ~ 0.449 ua ~ 0.315 ua
a1 ~ 0.001568 ua ~ 0.001100 ua
a2 ~ 0.001579 ua ~ 0.001181 ua
f1 ~ 0.5958° ~ 0.8491°
f2 ~ 0.5916° ~ 0.8432°
L1 ~ 134.2 R ~ 238.5 R
L2 ~ 132.5 R ~ 236.1 R

Le tableau suivant donne les mêmes caractéristiques pour les passages de la Terre au voisinage des nœuds de l'orbite de Vénus. Les valeurs ont été calculées pour le 8 juin 2004 (prochain passage au nœud descendant) et pour le 6 décembre 1882 (précédent passage au nœud ascendant).

Planète Vénus Passage de la Terre au voisinage du nœud descendant de l'orbite de Vénus (8 juin 2004) Passage de la Terre au voisinage du nœud ascendant de l'orbite de Vénus (6 décembre 1882)
r ~ 0.726 ua ~ 0.721 ua
a1 ~ 0.006258 ua ~ 0.006206 ua
a2 ~ 0.006368 ua ~ 0.006315 ua
f1 ~ 0.3704° ~ 0.3734°
f2 ~ 0.3640° ~ 0.3670°
L1 ~ 42.5 R ~ 43.8 R
L2 ~ 39.9 R ~ 41.2 R

Dans le cas de Vénus la taille du rayon du cône d'ombre à une unité astronomique est de l'ordre d'environ 42 rayons terrestres, donc statistiquement le nombre de passages centraux devrait être plus important que pour les passages de Mercure.

2. Critère en longitude au moment des passages au nœud

Notons L la différence entre la longitude de la Terre à l'instant où la planète passe par un nœud de son orbite et la longitude de ce nœud. Il existe une valeur limite L0 de L tel que si L est inférieure à L0 il y a un passage observable de la planète devant le Soleil.

L0 est donné par la formule approchée la suivante :

     L0 = s0 × (1/r - 1/D) × (1 - vt / vp) / sin i

où s0 est le demi-diamètre apparent du Soleil à une unité astronomique, r la distance Soleil-planète, D la distance Soleil-Terre, vp la vitesse angulaire héliocentrique de la planète, vt la vitesse angulaire héliocentrique de la Terre et i l'inclinaison de l'orbite de la planète. Cette formule est obtenue en faisant plusieurs approximations : la distance a2 entre la planète et le sommet du cône d'ombre est négligeable devant la distance Soleil-planète, la tangente de l'inclinaison est identique à son sinus et sp est négligeable devant s0.

Cette formule se démontre en écrivant que la distance minimale x entre le centre de l'ombre P1 et le centre de la Terre T1 est égale au rayon du cône d'ombre de la planète (x = L2) et en exprimant la position T de la Terre à l'instant où la planète passe par son nœud (P1 en O) en fonction des vitesses héliocentriques des deux corps.

Le tableau suivant donne, pour les dates proches des passages actuels de la Terre aux nœuds des orbites des deux planètes, les valeurs de ce critère et les paramètres permettant de les calculer. Le demi-diamètre du Soleil à une unité astronomique est pris égal à 15´ 59.63".

Mercure Vénus
Date Passage au nœud descendant Passage au nœud ascendant Passage au nœud descendant Passage au nœud ascendant
distance soleil-planète : r 0.449 ua 0.318 ua 0.726 ua 0.720 ua
Distance Soleil-Terre : D 1.009 ua 0.9908 ua 1.015 ua 0.985 ua
Vitesse de la planète : vp 2.976°/jour 5.885°/jour 1.589°/jour 1.614°/jour
Vitesse de la Terre : vt 0.968°/jour 1.003°/jour 0.956°/jour 1.016°/jour
Distance minimale : L0 109.4´ 232.5´ 42.2´ 37.4´

Bien que cette formule soit approximative, on peut en déduire en fonction des valeurs de L0 pour chaque passage, des informations concernant la fréquence des passages observables. Ainsi pour Mercure les passages observés au nœud ascendant ( L0 = 232.5´) seront environ deux fois plus nombreux que les passages observés au nœud descendant de mai ( L0 = 109.4´). Pour Vénus les critères sont très proches, donc on peut s'attendre à avoir un peu plus de passages au nœud descendant qu'au nœud ascendant. Par contre la valeur de L0 étant très faible les passages de Vénus seront très rares.

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