LES PASSAGES DE MERCURE ET DE VÉNUS DEVANT LE SOLEIL
  FICHES PÉDAGOGIQUES: FICHE N° 06
 

Afficher cette fiche au format Acrobat Reader (213Ko)

Fiche n°06 : Calcul de la parallaxe à partir des observations

I. Introduction

Nous avons vu que les passages de Vénus sont rares ; ils suivent depuis la fin du XVIe siècle le cycle 105.5 ans, 8 ans, 121.5 ans et 8 ans. Plus dun siècle sépare donc un couple de passages espacés de huit ans. Durant ces siècles les méthodes dobservation et la technologie ont évolué fortement.

Au XVIIIe siècle les éphémérides des astres étaient dassez faible précision, on ne savait pas bien mesurer la longitude dun lieu et il nexistait pas dhorloges vraiment fiables.

Au XIXe siècle, les éphémérides avaient progressé en précision ; la détermination précise de la longitude, surtout pour des lieux très éloignés non reliés par des télégraphes, posait encore quelques problèmes et en ce qui concerne le transport du temps, les horloges avaient fait de gros progrès. Un nouveau moyen dobservation avait fait son apparition : la photographie.

De nos jours tous ces problèmes nexistent plus. Les positions sur Terre sont directement accessibles à laide du GPS. Le temps universel est disponible en tout point du globe avec une précision surabondante. Les méthodes dobservation et denregistrement sont à la fois nombreuses et variées. On pourrait donc sattendre à une amélioration de la connaissance de la valeur de la parallaxe solaire à laide de lobservation des passages de Vénus. En réalité, ce ne sera pas le cas, car dans le même temps des méthodes directes de mesure de distances sont apparues et leurs précisions sont supérieures à toutes les autres méthodes même pourvues des dernières technologies. La parallaxe solaire est connue de nos jours à 10-6 seconde de degré près.

Néanmoins le passage de Vénus sera très intéressant à observer et à enregistrer, et il sera possible comme pour les passages intérieurs den déduire des valeurs de la parallaxe, même si cest dans un but purement pédagogique.

On va voir que lon peut faire plusieurs types de mesures qui auront des méthodes de réductions assez semblables.

II. Problème lié au temps dobservation

Lors des passages précédents les observations temporelles devaient être ramenées au temps moyen de Paris (ou de Greenwich). Lobservation était faite avec une horloge calée sur le temps solaire moyen du lieu, ce temps solaire moyen local était lui-même déduit du temps sidéral local observé grâce aux passages au méridien des étoiles et du Soleil. Ensuite les instants dobservation en temps solaire moyen étaient transformés en temps moyen de Paris (ou de Greenwich) en ajoutant ou en retranchant la longitude du lieu. Une erreur en longitude se reportait donc directement sur le temps dobservation obtenu, doù lintérêt de la méthode de Halley qui, en mesurant la durée du phénomène, faisait disparaître la longitude des équations.

La méthode de Delisle qui consistait à comparer les instants dobservations de deux contacts identiques, exprimés en temps moyens locaux, ne supprimait pas le terme en longitude et nécessitait donc une bonne connaissance de cette dernière. Mais elle avait lavantage de pouvoir être utilisée sur une plus grande partie du globe terrestre, lobservation globale du phénomène nétant plus nécessaire. De nos jours les instants sont directement mesurés en temps universel, ou dans une échelle de temps décalée dun nombre entier dheures par rapport au temps universel, les éventuelles erreurs en longitude napparaissent plus que dans les termes en sinus et en cosinus de la longitude.

Malgré cela nous garderons dans les expressions que nous allons calculer le terme en dl représentant lerreur due à la longitude, car il est intéressant de voir comment il intervenait dans la réduction des observations par le passé. Chaque observation est également entachée dincertitudes que lon arrive à moyenner en utilisant un grand nombre dobservations ou en combinant judicieusement certaines dentres elles.

Dans les méthodes de réduction présentées dans les paragraphes suivants, on utilise des valeurs calculées des quantités mesurées. Pour cela on utilise une estimation de la parallaxe équatoriale moyenne solaire p0 et cest cette estimation que lon va améliorer en comparant les valeurs calculées et les valeurs mesurées. Les valeurs calculées doivent être calculées avec le maximum de précision possible, des valeurs approchées peuvent être utilisées dans un but pédagogique, mais les erreurs quelles génèrent risquent dêtre trop fortes pour certains types de mesure.

Dans les formules que nous avons développées, nous allons négliger laplatissement de la Terre. Pour tenir compte de laplatissement terrestre f et de la hauteur h de lobservateur, il suffira de remplacer dans ces formules le cosinus et le sinus de la latitude géographique j par le cosinus et le sinus de la latitude géocentrique j' et de multiplier les coordonnées cartésiennes géographiques par r exprimé en rayon terrestre. On rappelle que lon passe de la latitude géographique à la latitude géocentrique à laide des formules suivantes :

    (1)

Mesures de distance et de temps.

Premier type de mesure

On mesure la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au parallèle céleste passant par le centre du Soleil.

Figure 1. – Mesure de la projection X de la distance.

Nous avons nommé cette quantité X dans les explications précédentes (figure 1).

Soit X la valeur pour un observateur situé au centre de la Terre et soit Xp la valeur pour un observateur à la surface de la Terre. Nommons Xo la quantité observée et Xc la quantité calculée.

La valeur de Xp se déduit de la valeur de X par la formule suivante (cf. formule 12 de la fiche n°02) :

    (2)

U est la parallaxe sur X en coordonnées différentielles tangentielles, j et l sont les coordonnées géographiques de lobservateur et HG est langle horaire de Soleil au méridien de Greenwich à linstant de lobservation. W est la différence des inverses des distances Soleil-Terre et Soleil-Vénus.

Si lon nomme dl lerreur en longitude, dx lerreur sur le calcul de X due aux éphémérides, DXo lincertitude de mesure de la quantité Xo, Dt lincertitude de mesure du temps dobservation et dp0 la correction à apporter à p0, alors léquation de condition reliant la valeur observée et la valeur calculée est la suivante :

Si lon développe le sinus dans lexpression de U, cette équation sécrit :

Dans cette équation les termes j = –W.sin HG, k = W.cos HG et dX/dt ne dépendent pas du lieu dobservation et peuvent être calculés et tabulés par avance. Le terme dx peut être considéré comme constant sur la durée du passage.

    (3)

Dans ces équations Dt et DX0 sont les incertitudes les mesures et les trois inconnues sont dp0 , dx et dl. La résolution de cette équation linéaire à trois inconnues demande la connaissance dau moins trois observations. Si lon a plus de trois observations, le système peut être résolu par des méthodes statistiques (méthode des moindres carrés). Lusage dun grand nombre dobservation permet de moyenner les incertitudes sur les observations Dt et DXo.

Si lon considère les éphémérides comme parfaites et si lon suppose la longitude parfaitement connue alors léquation na plus quune inconnue :

    (4)

Remarquons que les unités utilisées doivent être homogènes, le coefficient de dp0 est sans dimension, si Xo et X sont en secondes de degré alors dp0 sera dans la même unité et si dX/dt est en secondes de degré par minute de temps alors Dt doit également être en minutes de temps.

On remarquera dans ces équations que les termes cosj cos l et –cosj sinl sont respectivement les coordonnées cartésiennes de lobservateur dans le plan de léquateur, laxe Ox étant la direction du méridien de Greenwich.

Deuxième type de mesure

On mesure la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au méridien céleste passant par le centre du Soleil.

Figure 2. -Mesure de la projection Y de la distance.

Nous avons nommé cette quantité Y dans les explications précédentes (figure 2).

Soit Y la valeur pour un observateur situé au centre de la Terre et soit Yp la valeur pour un observateur à la surface de la Terre. Nommons Yo la quantité observée et Yc la quantité calculée.

La valeur de Yp se déduit de la valeur de Y par la formule suivante (cf. formule 12 de la fiche n°02) :

    (5)

V est la parallaxe sur Y en coordonnées différentielles tangentielles.

Si lon nomme dl lerreur en longitude, dy lerreur sur le calcul de Y due aux éphémérides Dt lincertitude de mesure du temps, DYo lincertitude de mesure sur Yo et dp0 la correction à apporter à p0, alors léquation de condition reliant la valeur observée et la valeur calculée est la suivante :

Si lon développe le cosinus dans lexpression de V cette équation sécrit :

Dans cette équation les termes l = Wsind cosHG, m = Wsind sinHG, n = –W cosd et dY/dt ne dépendent pas du lieu dobservation et peuvent être calculés et tabulés par avance. Le terme dy peut être considéré comme constant sur la durée du passage.

    (6)

La résolution de cette équation linéaire à trois inconnues demande la connaissance de trois observations. Si lon a plus de trois observations, le système peut être résolu par la méthode des moindres carrés.

Si lon considère les éphémérides comme parfaites et si lon suppose la longitude parfaitement connue alors léquation na plus quune inconnue :

    (7)

On remarquera dans ces équations que les termes cosj.cosl, – cosj.sinl et sinj sont respectivement les coordonnées cartésiennes de lobservateur dans le repère cartésien équatorial défini par le méridien de Greenwich et léquateur terrestre.

Troisième type de mesure

On mesure la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur un rayon du disque solaire de direction connue.

Figure 3. - .Mesure de la projection de la distance sur un rayon quelconque.

Soit SP la projection de SV sur le rayon solaire de direction m par rapport au pôle céleste nord compté positivement vers lest (figure 3).

Soit Z la valeur pour un observateur situé au centre de la Terre et soit Zp la valeur pour un observateur à la surface de la Terre. Nommons Zo la quantité observée et Zc la quantité calculée. De nouveau Dt est lincertitude sur la mesure du temps et DZo est lincertitude sur la mesure de Z

La valeur de Zp se déduit de la valeur de Z par les formules suivantes :

    (8)

Et en utilisant les formules introduites dans les deux cas précédents on a :

Ce qui donne en introduisant les paramètres j, l, k, m et n léquation de condition suivante :

    (9)

Cette formulation est à utiliser notamment lorsque lon projette la distance entre les centres sur la verticale du lieu contenant le centre du Soleil (par exemple sur une observation faite avec une lunette ayant une monture horizontale), dans ce cas m est lopposé de langle à lastre S du Soleil. Langle à lastre est langle formé par la direction joignant le centre du Soleil au zénith et la direction joignant le centre du Soleil au pôle céleste nord et compté positivement vers louest à partir du vertical contenant le centre du Soleil (figure 4).

Figure 4. -La sphère céleste horizontale locale.

Quatrième type de mesure

On mesure la distance angulaire des centres de Vénus et du Soleil.

Figure 5. - Mesure de la distance des centres des deux astres.

Nous avons nommé cette quantité D dans les explications précédentes (figure 5).

Soit D la valeur pour un observateur situé au centre de la Terre et soit Dp la valeur pour un observateur à la surface de la Terre. Nommons Do la quantité observée et Dc la quantité calculée. Soit DDo lincertitude sur la mesure de Do et Dt lincertitude sur le temps mesuré.

La valeur de Dp se déduit de la valeur de D par les formules suivantes :

    (10)

et (cf. formule 6 de la fiche n°02)

    (11)

dans cette équation les coefficients a, b et c sont indépendants du lieu.

On en déduit léquation de condition suivante :

Si lon introduit les paramètres suivants : A = Wa, B = Wb et C = Wc alors léquation de condition devient :

    (12)

Les quantités A, B, C, sinw, cosw, dD/dt ne dépendent pas de lobservateur et peuvent être calculées et tabulées à lavance.

On remarque également que le terme contenant lerreur sur la longitude a dD/dt en facteur, on avait donc intérêt lorsque cette longitude nétait pas bien déterminée à privilégier les observation près du minimum de distance, où dD/dt est proche de zéro, ou bien de combiner des observations symétriques par rapport à ce minimum pour supprimer ce terme.

Si les erreurs de calcul sur les valeurs de X et Y sont nulles et que lerreur sur la longitude est également nulle, alors léquation précédente devient :

    (13)

De nouveau on constate que pour les valeurs proches du minimum leffet de lincertitude Dt sur le résultat sera quasi-nul.

IV. Mesures de temps uniquement.

Les mesures précédentes, pour obtenir les valeurs calculées, demandaient la connaissance des instants dobservation. Dans ce chapitre nous allons traiter de mesures portant uniquement sur le temps. Ces mesures sont celles des instants des contacts extérieurs ou intérieurs et des durées de passages.

Observation dun instant de contact.

Soit to linstant observé dun contact intérieur ou extérieur et soit tc linstant calculé avec la meilleure précision possible. On désigne par dd et dd' les corrections éventuelles que lon a sur les demi-diamètres apparents du Soleil et de Vénus. On nomme Dc, dc et d'c les valeurs calculées de la distance angulaire entre les centres et des demi-diamètres des deux astres. Ces trois quantités doivent vérifier léquation suivante :

Dans le passé la valeur to observée était entachée dune erreur dl sur la longitude et lheure véritable du contact était : to ± dl. De nos jours cette erreur nexiste pas car on mesure directement linstant du contact en temps universel. Nous la garderons malgré tout dans nos formules pour comprendre lintérêt des méthodes utilisées aux passages précédents. Nous noterons Dt l'incertitude sur la mesure de l'instant du contact.

Le premier membre de léquation précédente devient la distance vraie entre les centres si on lui ajoute la correction suivante :

Et lon doit ajouter au second membre les erreurs sur les demi-diamètres. Ce qui donne :

ou encore en introduisant les paramètres A, B et C :

    (14)

De nouveau les quantités A, B, C, sinw, cosw et dD/dt sont indépendantes de lobservateur et peuvent être calculées à lavance.

Cette équation de condition compare une valeur mesurée à une valeur calculée, on peut comparer deux valeurs mesurées dun même contact (méthode de Delisle), si lon affecte de lindice 1 léquation de condition de la première observation et dun indice 2 léquation de condition de la seconde observation, ces équations sécrivent :

et la différence des deux équations donne :

    (15)

Comme on le voit une partie des erreurs disparaissent, il ne subsiste plus que lerreur en longitude, qui est multipliée par le même facteur que les mesures temporelles. Doù limportance davoir une bonne détermination des longitudes pour appliquer la méthode de Delisle.

Il convient de faire une remarque sur cette dernière équation, elle contient encore la différence des instants des contacts calculés. On pourrait être tenté de remplacer cette expression par sa formulation simplifiée (établie dans la fiche n°02 « Comment calculer les circonstances dun passage de Vénus devant le Soleil) qui est égale à :

alors on aurait directement une estimation de la nouvelle valeur de la parallaxe p0 +dp0 mais ce serait une erreur, en effet les valeurs approchées du calcul des contacts sont faites avec une erreur de lordre du dixième de minute, en prenant ces valeurs simplifiées on intègre cette erreur dans la valeur de la parallaxe ; il convient donc de garder dans les formules les valeurs des contacts calculées avec le maximum de précision. Si lon utilise cette simplification la formule (15) devient :

    (16)

Cette formule simplifiée permet davoir une première approximation de la parallaxe.

On remarque également que la combinaison des lieux dobservation doit être faite de sorte que la différence des temps de contacts soit maximale.

Observation de la durée dun passage.

Létude et la détermination de léquation de condition liée à la durée dun passage sont en tous points identiques à létude des contacts, on fait simplement la différence de deux contacts identiques pour un même lieu. Par exemple pour la durée du passage intérieur on utilise le deuxième et le troisième contacts notés 2 et 3 on obtient en ajoutant les deux équations :

Or pour des raisons de symétrie on a :

Léquation précédente se met alors sous la forme :

    (17)

On constate que le terme en longitude a disparu, doù lintérêt de cette méthode lorsque lon ne pouvait pas bien déterminer les longitudes des observateurs.

Si lon nomme To la durée observée et Tc la durée calculée, léquation précédente devient :

    (18)

Maintenant si on utilise la méthode de Halley en deux points a et b et si lon nomme DTo la différence de temps de passage observée et DTc la différence de temps de passage calculée, on a léquation de condition suivante :

    (19)

Les termes correspondant aux erreurs de tables ont disparu des équations.

On voit que lon a intérêt à avoir une valeur extrême pour la différence des durées observées DT0. En effet il faut que lécart de durée entre les points a et b soit le plus grand possible devant lécart entre la valeur mesurée et la valeur calculée.

Remarque : si lon ne connaît pas destimation de p0 léquation (12) de la fiche n°02 dans laquelle on fait apparaître les coefficients A, B, et C permet décrire :

    (20)

Et finalement :

    (21)

Cette dernière formule permet donc de calculer directement la parallaxe à laide de deux observations de durée, par contre lusage de léquation (20) introduit des erreurs du dixième de minutes de temps sur les contacts, donc sur les durées calculées. Cette formule est donc à utiliser pour avoir une première approximation de la parallaxe mais pas pour réduire des séries observations.

Remarques

À la fin du XIXe siècle, après les passages de 1874 et 1882, les réductions des observations obtenues à laide de clichés photographiques utilisèrent des équations de condition légèrement différentes de celles élaborées ci-dessus. La comparaison des observations de distances entre les centres des deux corps avec les distances calculées ne laissa aucun doute sur lexistence dune erreur personnelle liée à chaque observateur. Cette comparaison indiqua également que la somme des rayons des deux astres admise à lépoque était trop forte denviron 3", en raison notamment de la diffraction. On introduisit donc deux nouvelles inconnues, léquation personnelle et lerreur sur la somme des rayons. Ces deux nouvelles inconnues se réduisaient à une seule si lon regroupait les résultats de chaque observateur.

Le résultat de la mesure était le rapport de la distance des centres sur la somme des rayons des deux astres. Soit m ce rapport, D la distance des centres, S la somme des rayons et e lerreur personnelle. On a :

donc

Or seule dm est entachée dune erreur personnelle. Donc :

Et enfin

en posant

léquation de condition sur la distance D devient alors :

    (22)

Dautre part, la réduction des observations obtenues à laide de clichés photographiques a amené une nouvelle méthode de réduction basée sur le tracé de la trajectoire du centre de Vénus devant le Soleil. Cette trajectoire est représentée par une hyperbole, la connaissance de cette hyperbole permet de connaître la distance minimale entre les centres. On pratique toujours de la même manière, on calcule la trajectoire géocentrique, puis la trajectoire topocentrique et lon mesure la trajectoire sur les clichés. On détermine alors une équation de condition qui ne dépend plus que de trois paramètres. On détermine par une méthode de moindres carrés ces trois paramètres, puis on obtient la correction de parallaxe en comparant les valeurs obtenues dans les différentes stations dobservations. Cette méthode plus complexe ne sera pas détaillée dans ce document.

Contact

Pour tous renseignements concernant ces pages, veuillez contacter ou le Service de renseignements de l'IMCCE.
Caution : This Website was created with the Ministère de l'Education Nationale, the CNRS and the CNES support. Any use of the data published on this website requires the IMCCE agreement..