LES PASSAGES DE MERCURE ET DE VÉNUS DEVANT LE SOLEIL
PÉRIODES DE RÉCURRENCE DANS LES SÉRIES DE PASSAGES: "SAROS"

1. Définitions

À l'aide des canons, on peut rechercher des périodes de récurrence dans les dates des passages. Ces périodes sont identiques au "saros" pour les éclipses de Lune et de Soleil. Ces périodes sont toujours des multiples communs de la révolution synodique (RS) et de la révolution draconitique (RD) de la planète. La révolution synodique ramène la planète et la Terre en conjonction et la révolution draconitique ramène la planète au nœud de son orbite. Néanmoins cette relation simple entre révolution synodique et draconitique n'est pas suffisante pour que les passages se répètent avec la fréquence trouvée. En effet il faut en plus que la position de la Terre au moment du passage de la planète par son nœud, c'est-à-dire pour le multiple de la révolution draconitique considéré, se trouve encore à l'intérieur du segment défini par le critère d'observation. Cette dernière contrainte fait intervenir la période de révolution moyenne ramenant la Terre aux nœuds de l'orbite de la planète. Par analogie avec l'étude des éclipses de Lune et de Soleil où cette période s'appelle "saison des éclipses", nous l'appellerons "saison des passages" et nous la noterons SP. Cette période moyenne se calcule en combinant le mouvement moyen de la Terre dans le sens direct et le mouvement du nœud des orbites, toujours exprimés dans le repère de la date.

On peut trouver les multiples communs aux révolutions synodique et draconitique, en décomposant le rapport de ces deux révolutions sous forme de fractions continues. Le but de cette décomposition créée par Laplace en 1768 est d'obtenir les approximations d'un nombre réel positif sous la forme de quotients de deux nombres entiers.

2. Les séries de saros de Mercure

Pour Mercure la saison des passages est égale à SP=365.2542244 jours. Le rapport de la révolution synodique sur la révolution draconitique (R=RS/RD=115.8774771/87.96913170) est égal à 1.31725157. Il se décompose en fractions continues qui peuvent s'écrire sous forme de réduites d'ordre 8 : (1;3,6,1,1,2,1,3,1).

En utilisant cette forme réduite nous pouvons écrire le rapport R=RS/RD sous la forme de fractions p/q qui vont approcher de mieux en mieux le rapport R. Dans le tableau suivant nous donnons pour chaque valeur de ce rapport p/q, la valeur de p révolutions draconitiques (période p.RD) en jours, puis dans la colonne suivante nous donnons l'écart (p.RD - q.RS) entre les p révolutions draconitiques et les q révolutions synodiques, dans la colonne suivante nous donnons la valeur de la différence entre p.RD et n.SP où n est le nombre de saisons de passages contenues dans les p révolutions draconitiques. Cette dernière valeur, multipliée par la vitesse héliocentrique de la Terre au voisinage du nœud considéré, nous donne la variation dL de la position de la Terre par rapport au nœud après la période p.RD. Pour que cette période soit effectivement une période de récurrence il faut que cette variation soit petite devant le longueur 2 L0 du segment définissant le critère d'observabilité du passage. Le nombre de passages homologues de séries longues construites à partir de cette période de récurrence est de l'ordre du rapport 2 L0 sur dL .

Approximation
de RS/RD
période :
p . RD
p . RD
moins
q x RS
n = (p . RD):SP p RD - n.SP dL au
nœud
descendant
dL au
nœud
ascendant
4/3 4RD=
351.877 j
4.244 j 1 -13.378 j - -
25/19 25RD=
2199.228j
-2.444 j 6 7.703 j 447,4' 464.0'
29/22 29RD=
2551.105j
1.800 j 7 -5.675 j -329.6' -341.9'
54/41 54RD=
4750.333 j
-0.643 j 13 2.028 j 117.8' 122.2'
137/104 137RD=
12051.771j
0.513 j 33 -1.618 j -94.0' -97.5'
191/145 191RD=
16802.104j
-0.130 j 46 0.410 j 23.8' 24.7'
710/539 710RD=
62458.084 j
0.123 j 171 -0.389 j -22.6' -23.4'
901/684 901RD=
79260.188 j
0.007 j 217 0.021 j 1.2' 1.3'

Dans ce tableau, les valeurs dL au nœud descendant sont à comparer avec la longueur du segment 2 L0 =219' et les valeurs dL au nœud ascendant sont à comparer avec la longueur du segment 2 L0 =465'.
Les trois dernières périodes de 46 ans, 171 ans et de 217 ans, correspondant respectivement à 191, 710 et 901 révolutions draconitiques, sont des périodes de récurrence. Pour les périodes de 46 ans et 171 ans, le nombre de passages d'une série au nœud descendant (en mai) est de l'ordre de 9 ou 10 et le nombre de passages au nœud ascendant (novembre) est de 20 ou 21. L'étude des séries du canon, confirme ces valeurs. Ces séries longues s'étendent donc sur les périodes de 460 ans et 920 ans environ pour le saros de 46 ans et sur ds périodes de 1710 ans et 3420 ans pour le saros de 171 ans. Notre canon comporte 61 séries de saros de 46 ans dont 49 séries complètes et 76 séries de saros de 171 ans dont 30 séries complètes.

Une série est complète lorsque tous les passages qui la composent, sont dans le canon. Il n'est pas toujours facile de savoir si une série commençant au voisinage du début du canon, ou se terminant au voisinage de la fin du canon est complète ou non.

Pour la période de 217 ans, compte tenu des valeurs de dL estimées, le nombre des passages pour les séries au nœud descendant devrait être de l'ordre de 180 et le nombre de passages pour les séries au nœud ascendant devrait être de l'ordre de 395. L'étude des séries du canon confirme l'existant de cette période de récurrence, mais ne confirme pas la longueur de ces séries, en fait la valeur réelle de dL au nœud descendant est d'environ -4.8' et celle de dL au nœud ascendant est d'environ -5.0'. Cette différence provient de l'imprécision du rapport RD/RS, ce rapport est calculé avec des éléments moyens de la date, qui ne prennent pas en compte les perturbations, la fraction 901/684 approche le rapport RD/RS à 10-7 près, et l'on atteint ainsi la précision du rapport RD/RS. Les valeurs dL calculées à l'aide de révolutions moyennes ne sont donc pas suffisamment précises. Les séries de saros de 217 ont donc environ 69 éléments pour les séries au nœud descendant et 225 éléments pour les séries au nœud ascendant. Aucune de ces séries n'est complète dans notre canon.

Le tableau précédent fait également apparaître des périodes courtes que l'on rencontre dans le canon, mais que l'on ne peut pas appeler périodes de récurrence, car le nombre des passages consécutifs dépassent rarement trois passages. Ainsi les passages au nœud descendant sont espacés de 13 ou 33 ans et les passages au nœud ascendant de 6, 7, 13 ou 33 ans. On remarque également les relations suivantes entre ces périodes 6+7=13, 2x13+7=33, 33+13=46, 46x3+33=171 et 171+46=46x4+33=217.

A titre d'exemple nous donnons ici les séries longues contenant le passage de Mercure du 7 mai 2003 (nœud descendant). Pour chaque passage on donne successivement, le numéro du passage dans la série, le type du passage (P : passage partiel, NC : passage non central, C : passage central), la date du passage, la distance minimale topocentrique entre le centre de Mercure et le centre du Soleil, la durée du passage, le numéro de la série de saros dans le canon, la différence de longitudes héliocentriques réelle L entre la Terre et le nœud de l'orbite de Mercure à l'instant où Mercure passe par ce nœud et le paramètre L0 calculé pour les valeurs exactes du passage. L'écart entre deux valeurs consécutives de L est à comparer avec la valeur dL estimée du tableau précédent.

Saros de 46 ans : série complète.
----------------------------------------------------------------------------
n° type          date             distance    durée   S        L        L0/i>
----------------------------------------------------------------------------
  1NC. 05/05/1957  - 06/05/1957  15'00.36" 02h41m18s  52   -104.56'  107.76' 
  2NC.        07/05/2003         11'41.32" 05h23m59s  52    -81.43'  107.87'  
  3NC.        07/05/2049         08'24.81" 06h45m06s  52    -58.87'  107.98' 
  4NC. 08/05/2095  - 09/05/2095  05'02.76" 07h33m09s  52    -35.56'  108.09' 
  5NC. 09/05/2141  - 10/05/2141  01'41.09" 07h55m58s  52    -12.55'  108.21' 
  6NC.        11/05/2187         01'28.94" 07h57m05s  52     10.73'  108.33'  
  7NC.        12/05/2233         04'49.20" 07h36m42s  52     33.54'  108.44' 
  8NC. 13/05/2279  - 14/05/2279  08'12.44" 06h50m50s  52     56.49'  108.56'  
  9NC.        15/05/2325         11'34.39" 05h29m44s  52     79.35'  108.67'  
 10NC.        16/05/2371         14'59.05" 02h43m47s  52    102.38'  108.80'  
---------------------------------------------------------------------------

Saros de 171 ans : série complète.
----------------------------------------------------------------------------
n° type          date             distance    durée   S       L         L0  
----------------------------------------------------------------------------
  1NC.        23/04/806          14'29.09" 03h20m35s  58     97.10'  105.66'  
  2NC.        23/04/977          10'39.95" 05h59m28s  58     71.97'  105.96'  
  3NC.        23/04/1148         06'46.02" 07h17m38s  58     46.12'  106.25'  
  4NC. 23/04/1319  - 24/04/1319  02'59.26" 07h54m08s  58     20.81'  106.56' 
  5NC. 23/04/1490  - 24/04/1490  00'32.71" 08h01m30s  58     -4.72'  106.87' 
  6NC.        03/05/1661         04'16.15" 07h42m13s  58    -30.16'  107.20' 
  7NC.        05/05/1832         07'57.72" 06h54m03s  58    -55.54'  107.53' 
  8NC.        07/05/2003         11'41.32" 05h23m59s  58    -81.43'  107.87' 
  9NC.        08/05/2174         15'17.39" 02h15m49s  58   -106.81'  108.22' 
----------------------------------------------------------------------------

Saros de 217 ans : série incomplète
----------------------------------------------------------------------------
n° type          date             distance    durée   S       L         L0  
----------------------------------------------------------------------------
  1NC.        03/04/-2988        01'47.77" 08h10m54s   2   -14.13'   100.98' 
  2NC.        04/04/-2771        02'20.02" 08h08m10s   2   -17.59'   100.48' 
  3NC.        05/04/-2554        02'50.67" 08h05m02s   2   -20.83'   101.28'  
  4NC. 06/04/-2337 - 07/04/-2337 03'19.84" 08h01m28s   2   -24.04'   101.48'  
  5NC. 06/04/-2120 - 07/04/-2120 03'47.40" 07h57m39s   2   -26.96'   101.66' 
  6NC.        08/04/-1903        04'19.53" 07h52m39s   2   -30.42'   101.86'  
  7NC.        09/04/-1686        04'48.47" 07h47m34s   2   -33.55'   102.08'  
  8NC.        10/04/-1469        05'15.68" 07h42m16s   2   -36.45'   102.32'  
  9NC.        10/04/-1252        05'41.58" 07h36m46s   2   -39.19'   102.56' 
 10NC.        11/04/-1035        06'11.37" 07h29m56s   2   -42.56'   102.82'  
 11NC. 12/04/-818  - 13/04/-818  06'37.71" 07h23m21s   2   -45.43'   103.08'  
 12NC. 13/04/-601  - 14/04/-601  07'02.28" 07h16m42s   2   -48.07'   103.38' 
 13NC.        14/04/-384         07'29.44" 07h08m55s   2   -51.22'   103.66' 
 14NC.        15/04/-167         07'55.67" 07h00m49s   2   -54.14'   103.99' 
 15NC.        16/04/50           08'22.45" 06h52m02s   2   -57.16'   104.31' 
 16NC.        17/04/267          08'42.13" 06h45m01s   2   -59.58'   104.65'  
 17NC.        17/04/484          09'11.05" 06h34m22s   2   -62.89'   105.00' 
 18NC.        18/04/701          09'31.64" 06h26m10s   2   -65.29'   105.37' 
 19NC.        19/04/918          09'53.76" 06h16m54s   2   -68.04'   105.76' 
 20NC. 20/04/1135  - 21/04/1135  10'15.61" 06h07m18s   2   -70.70'   106.14' 
 21NC. 20/04/1352  - 21/04/1352  10'40.26" 05h55m51s   2   -73.69'   106.56'  
 22NC.        22/04/1569         10'59.20" 05h46m27s   2   -76.12'   106.98' 
 23NC.        04/05/1786         11'21.99" 05h34m39s   2   -78.97'   107.41' 
 24NC.        07/05/2003         11'41.32" 05h23m59s   2   -81.43'   107.87' 
 25NC.        09/05/2220         12'01.53" 05h12m14s   2   -84.18'   108.33' 
 26NC.        11/05/2437         12'17.62" 05h02m20s   2   -86.26'   108.81' 
 27NC.        14/05/2654         12'39.43" 04h48m17s   2   -89.08'   109.30'  
 28NC.        16/05/2871         12'51.67" 04h39m48s   2   -90.99'   109.80' 
-----------------------------------------------------------------------------                                                     

Quelques remarques concernant les tableaux ci-dessus.

On constate, que les valeurs du critère L0 ne sont pas constantes mais varient lentement. Pour le passage de 2003 cette valeur (107.8') est légèrement plus faible que la valeur calculée précédemment (109.4'), c'est normal car le calcul précédent a été fait pour la date du 7 mai 2003 à 0h et les valeurs du tableau sont celles obtenues pour la date du passage de Mercure par le nœud de son orbite soit le 7 mai à 23h 49m 40.26s. Les deux premières séries de saros sont complètes. Dans la première série, celle de 46 ans, les valeurs L sont d'abord négatives puis augmentent d'environ 23' d'un passage à l'autre, cette valeur est en accord avec la valeur que nous avions estimée (23.8'). Cette série au nœud descendant débute donc avec un passage avec la Terre à droite par rapport au nœud dans une vue héliocentrique (voir figure suivante) ou avec le Soleil à gauche par rapport au nœud dans une vue géocentrique, donc la déclinaison de Mercure, au moment des passages est d'abord positive puis va décroître et va devenir négative en passant par zéro. Cette série de saros de 46 ans va donc débuter par des passages au nord du disque solaire, puis les passages vont se rapprocher du centre du disque et en fin de série les passages seront au sud du disque solaire, les passages successifs parcourent donc le disque solaire du nord au sud.

Pour la série de 171 ans, on peut faire les mêmes remarques, mais les signes de L étant opposés, on va avoir les passages successifs de la série qui vont parcourir le disque solaire du sud au nord. Pour la série de 217 ans, incomplète, les passages se font également dans le même sens, du sud au nord.

Le tableau suivant résume les résultats obtenus sur les séries de Saros de Mercure.

Mercure au nœud
descendant
nœud
ascendant
Type de saros Saros 46 ans Saros 171 ans Saros 217 ans Saros 46 ans Saros 171 ans Saros 217 ans
Nombre de
passages
~ 10 ~ 10 ~ 45 ~ 20 ~ 20 ~ 95
Évolution
des passages
nord - sud sud - nord sud - nord sud - nord nord - sud nord - sud

On peut également mettre en évidence ces périodes de récurrences en traçant des diagrammes représentant la distance minimale entre le centre de la planète et le centre du Soleil en fonction des passages.

Le graphique ci-dessous met en évidence les périodes de 13, 33 et 46 ans pour les passages de Mercure au nœud ascendant pour la période 1500-2400. Les distances minimales sont exprimées en minutes d'arc. On visualise bien que les séries de 13 ans comportent 4 passages, que celles de 33 ans comportent 5 passages et que celles de 46 ans comportent 19 passages.

Périodes de récurrence de 13, 33 et 46 ans des passages de Mercure à son nœud ascendant

On fait apparaître les périodes de 171 et 217 ans en reliant les points séparés par 3x46+33=171 ans et 4x46+33= 217 ans, comme on peut le constater sur les graphiques suivants. On remarque que plus la pente de la série de passages d'une période de récurrence est faible, plus la série est longue et stable.

Périodes de récurrence de 13, 33, 46 et 171 ans des passages de Mercure à son nœud ascendant


Périodes de récurrence de 13, 33, 46 et 217 ans des passages de Mercure à son nœud ascendant

Les trois graphiques suivants sont identiques et correspondent aux passages de Mercure à son nœud descendant de son orbite. On visualise bien de nouveau que les séries de 13 ans comportent 2 passages, que celles de 33 ans comportent 3 passages et que celles de 46 ans en comportent seulement 10.

Périodes de récurrence de 13, 33 et 46 ans des passages de Mercure à son nœud descendant


Périodes de récurrence de 13, 33, 46 et 171 ans des passages de Mercure à son nœud descendant


Périodes de récurrence de 13, 33, 46 et 217 ans des passages de Mercure à son nœud descendant

3. Les séries de saros de Vénus

Pour Vénus la saison des passages est égale à SP=365.25133208 jours. Le rapport de la révolution synodique sur la révolution draconitique (R=RS/RD=583.9213609/224.6988946) est égal à 2.598683727. Il se décompose sous forme de réduites d'ordre 5 en (2;1,1,2,29,1). Nous pouvons donc construire un tableau identique au tableau de Mercure.

Approximation
de RS/RD
période :
p . RD
p . RD
moins q x RS
n = (p . RD):SP p RD - n.SP dl au
nœud
descendant
dl au
nœud
ascendant
2/1 2RD=449.398 j -134.524 j 1 84.146 j - -
3/1 3RD=674.097 j 90.175 j 2 -56.406 j - -
5/2 5RD=1123.494 j -44.348 j 3 27.740 j - -
13/5 13RD=2921.086 j 1.479 j 8 -0.925 j -53.1' -56.4'
382/147 382RD=85834.978 j -1.462 j 235 0.914 j 52.5' 55.8'
395/152 395RD=88756.063 j 0.017 j 243 -0.010 j -0.6' -0.6'

Dans ce tableau, seule la dernière période de 243 ans est une période de récurrence, la valeur dL =-0.6' au nœud descendant (en juin) est à rapprocher du critère 2 L0 =84.4' et la valeur dL =-0.6' au nœud ascendant (en décembre) est à rapprocher du critère 2 L0 =74.8'. On devrait donc avoir des séries de 141 passages au nœud descendant et des séries de 125 passages au nœud ascendant. De nouveau, l'étude des séries du canon, confirme l'existence de cette période de récurrence, mais ne confirme pas le nombre de passages dans ces séries. On observe que les valeurs dL pour le nœud descendant ne sont pas constantes et varient entre 4.2' et 2.17', la valeur moyenne étant de l'ordre de -3.4', de même on observe que les valeurs dL au nœud ascendant varient entre -4.4' et -3.6', la valeur moyenne étant de l'ordre de -4'. Les séries au nœud descendant ont donc environ 24 passages et les séries de passages au nœud ascendant ont environ 20 passages.

Notre canon comporte 6 séries de Saros de 243 ans, 3 au nœud ascendant et 3 au nœud descendant, une seule de ces séries est complète, c'est une série au nœud ascendant et elle comporte 20 passages. Compte tenu du signe des valeurs dl, les passages des séries des passages au nœud descendant se font du nord au sud du disque solaire et les passages des séries au nœud ascendant se font du sud au nord du disque solaire.

Le tableau ici donne la série de saros contenant le passage de Vénus du 8 juin 2004.

Cette série n'est pas complète.
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n° type          date             distance    durée   S       L         L0  
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  1NC.        17/05/-2856        14'07.13" 04h02m07s   3   -43.55'   41.68'  
  2NC.        18/05/-2613        12'46.35" 05h04m17s   3   -39.32'   41.72'  
  3NC. 18/05/-2370 - 19/05/-2370 11'23.76" 05h51m20s   3   -34.98'   41.84' 
  4NC.        19/05/-2127        10'01.81" 06h28m52s   3   -30.71'   41.86' 
  5NC.        19/05/-1884        08'43.70" 06h56m56s   3   -26.86'   41.96'  
  6NC.        20/05/-1641        07'18.26" 07h22m22s   3   -22.48'   41.99' 
  7NC. 20/05/-1398 - 21/05/-1398 06'02.95" 07h39m52s   3   -18.81'   42.05'  
  8NC.        21/05/-1155        04'34.21" 07h55m55s   3   -14.53'   42.10' 
  9NC.        21/05/-912         03'20.44" 08h06m08s   3   -10.85'   42.12' 
 10NC.        22/05/-669         01'55.78" 08h13m16s   3    -6.94'   42.19' 
 11NC.        22/05/-426         00'39.86" 08h17m38s   3    -3.30'   42.17' 
 12 C  22/05/-183  - 23/05/-183  00'00.00" 08h17m49s   3     0.16'   42.24' 
 13NC. 22/05/60    - 23/05/60    01'05.75" 08h16m16s   3     3.60'   42.23' 
 14NC.        24/05/303          02'16.09" 08h11m32s   3     6.95'   42.25' 
 15NC.        24/05/546          03'30.69" 08h03m58s   3    10.34'   42.26' 
 16NC.        24/05/789          04'45.92" 07h53m29s   3    13.71'   42.24' 
 17NC.        24/05/1032         05'51.72" 07h41m00s   3    16.80'   42.26' 
 18NC. 25/05/1275  - 26/05/1275  07'03.26" 07h25m21s   3    19.91'   42.21' 
 19NC. 25/05/1518  - 26/05/1518  08'03.66" 07h08m20s   3    22.65'   42.24' 
 20NC.        06/06/1761         09'08.70" 06h47m56s   3    25.61'   42.18' 
 21NC.        08/06/2004         10'05.16" 06h26m25s   3    27.99'   42.18' 
 22NC.        11/06/2247         11'09.57" 05h58m09s   3    30.92'   42.14'  
 23NC.        12/06/2490         11'59.36" 05h32m37s   3    33.09'   42.10'  
 24NC.        15/06/2733         13'06.54" 04h51m03s   3    35.97'   42.07' 
 25NC.        16/06/2976         13'48.66" 04h19m60s   3    37.87'   42.00' 
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Remarques

Par la méthode de décomposition en fractions continues, on ne trouve pas les périodes non entières qui apparaissent dans la succession des passages de Vénus, c'est à dire les périodes de 105.5 ans et 121.5 ans. Le tableau suivant donne les correspondances entre ces périodes et les révolutions synodique et draconitique de Vénus. On donne également la valeur des variations dL de la longitude de la Terre par rapport au nœud à l'instant où Vénus passe par le nœud.

p x RD q x RS n dL lorsque
l'on passe
du nœud
descendant
au nœud
ascendant
dL lorsque
l'on passe
du nœud
ascendant
au nœud
descendant
171.5 RD 66 RS 105.5 +52.8' +73.7'
197.5 RD 76 RS 121.5 +59.1' +48.7'
      dL au nœud ascendant dL au nœud descendant
13 RD 5 RS 8 -53.1' -56.4'

On remarque que la succession (8ans, 121.5 ans, 8 ans, 105.5 ans) garde la Terre à l'intérieur du segment de longueur 2 L0 , condition nécessaire pour avoir des passages observables.

Ainsi comme le montre l'exemple ci-dessus, si on a observé un passage au nœud ascendant (09/12/1874), 8 ans plus tard, si on a de nouveau un passage observable ((06/12/1882), la Terre à l'instant où Vénus passe par son nœud s'est décalée de -56.68' par rapport à sa position du passage précédent, 121.5 ans plus tard, on observe un nouveau passage au nœud descendant (08/06/2004) et la Terre à l'instant où Vénus passe par son nœud s'est déplacée de +48.69', puis 8 ans plus tard, on a un nouveau passage au même nœud (06/06/2012) et la Terre à l'instant où Vénus passe par son nœud s'est déplacée de -52.97' et enfin 105.5 ans plus tard, on a de nouveau un passage au nœud ascendant (11/12/2117) avec un décalage de la Terre est de 52.77', le cumul des quatre décalages (-8.19') divisé par 2 donne environ -4' et correspond au décalage par rapport au nœud observé après une période de 243 ans.

Ce cycle est rompu à la fin d'une série de saros de 243 ans, lorsqu'un passage est central ou très proche du centre. Dans ce cas les décalages de -53;1' ou -56.4', correspondant à la période de 8 ans, ne maintiennent plus la Terre à l'intérieur du segment 2 L0 et le cycle est interrompu. Plusieurs intervalles entre passages peuvent apparaître, 243, 121.5, 113.5 (105.5+8), jusqu'au moment où, le décalage généré par ces périodes amenant le centre de la Terre suffisamment loin du nœud de l'orbite, le cycle classique (8,105.5,8,121.5) reprenne. Ces périodes de rupture de cycle peuvent être très longues.

Comme pour Mercure on peut tracer les distances du centre de Vénus au centre du Soleil en fonction des dates des passages. Le graphique suivant représente les séries des passages aux nœuds ascendant (en bleu) et descendant (en rouge) pour une période de 6000 ans (-3000 à +3000). On a tracé en vert et en violet les sauts de 8 ans entre passages identiques, on constate bien deux ruptures de saut, une pour le nœud descendant entre -920 et 546 et une au nœud descendant entre -548 et 1631, ce qui fait une rupture du cycle (8ans, 121.5 ans, 8 ans, 105.5 ans) entre -920 et 1631 soit 25 siècles et demi. On a tracé en jaune les passages successifs respectant le cycle (8ans, 121.5 ans, 8 ans, 105.5 ans).

Séries de récurrences des passages de Vénus entre -3000 et +3000.

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