LES PASSAGES DE MERCURE ET DE VÉNUS DEVANT LE SOLEIL
FICHES PÉDAGOGIQUES: FICHE N° 07

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Fiche n°07 :
Exemples de calcul de la parallaxe à partir des observations.
Avec les données pour la réduction des observations

I. Introduction

Nous allons donner une série d’exemples de calcul de la valeur de la parallaxe à l’aide des formules que nous avons développées précédemment.

Nous allons nous placer à l’observatoire de Paris dont les coordonnées sont les suivantes :

j = 48° 50' 11,2" nord, l = 2° 20' 13,8"est (9min 20,92s est) et h = 67m.

Le rayon terrestre R est égal à : 6378,140 km

Nous allons tenir compte de l’aplatissement terrestre f = 1/298,257.

En utilisant les formules suivantes on peut déterminer la latitude géocentrique j' et le facteur r.

j' = 48° 38' 44,38" et r = 0,9981171849.

r sinj' = 0,7492245345 et r cosj' = 0,6594698717.

La parallaxe équatoriale solaire p0 = 8,79414".

Exemple 1

Mesure de la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au parallèle céleste passant par le centre du Soleil.

Nous avons noté Xo cette valeur.

Pour simplifier les calculs et éviter les interpolations des tables, nous allons choisir un instant de la tabulation pour notre exemple : 6h 5m UTC.

Nous allons calculer une valeur approchée Xc de Xp pour l’instant d’observation à l’aide de la formule (cf. formule 2 fiche n°04) :

           (1)

où l’on peut développer le sinus et faire apparaître les paramètres j et k ( j = –W.sin HG, k = W.cos HG).

Les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

X = 11,2181', j = 2,4756 et k = 0,0644.

Ce qui donne U = 0,2388' et Xc = 11,4569'. Le calcul rigoureux, sans approximation, donne Xc = 11,4574' soit une différence de 0,03".

Supposons que l’on observe par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Le demi-diamètre apparent du Soleil étant de l’ordre de 945,4" la projection d’une seconde de degré mesure 0,106mm et le rayon de la projection de Vénus mesure environ 3mm. On se rend compte de la difficulté de réaliser une mesure précise. Supposons que vous mesuriez une projection Xo au centre du Soleil égale à 7,28 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Xo = 11,4708' avec une incertitude de DXo = 4,727" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 4 fiche n°04) :

           (2)

le coefficient de dp0 est égal à 1,6295 et dX/dt est égal à –3,9166"/min.

La différence de la valeur observée et de la valeur calculée est de –0,0134' (–0,8072"), si l’on exprime tout en secondes de degré nous trouvons :

Ce qui donne pour la parallaxe équatoriale moyenne :

Cet exemple montre l’importance de la précision dans la mesure de X et l’influence de la précision du temps d’observation. Le demi-millimètre de précision dans la mesure de X produit des incertitudes de l’ordre de trois secondes de degré sur la valeur de la parallaxe ! Alors qu’une erreur d’une seconde sur l’instant d’observation ne produit qu’une incertitude de 0,04" sur la valeur de la parallaxe.

Exemple 2

Mesure de la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au méridien céleste passant par le centre du Soleil.

Nous avons noté Yo cette valeur.

Pour simplifier les calculs et éviter les interpolations des tables, nous allons choisir le même instant de la tabulation pour notre exemple : 6h 5m UTC.

Nous allons calculer une valeur approchée Yc de Yp pour l’instant d’observation à l’aide de la formule (cf. formule 5 fiche n°04) :

           (3)

où l’on peut développer le cosinus et faire apparaître les paramètres l, m et n (Wsind cosHG, m = Wsind sinHG, n = –W cosd)

Les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

Y = -8,0142', l = 0,0251, m = –0,9625 et n = –2,2816.

Ce qui donne U = –0.2443' et Yc = –8.2585'.

Le calcul exact sans approximation donne Yc = –8,2590' soit une différence de 0,03".

Supposons que l’on observe de nouveau par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Supposons que vous mesuriez une projection Yo au centre du Soleil égale à –5,25 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Yo = -8,2723' avec une incertitude de DYo = 4,727" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 7 fiche n°04) :

           (4)

Le coefficient de dp0 est égal à –1,6670 et dY/dt est égal à –0,9595"/min, ce qui donne en convertissant tout en secondes de degré :

On constate de nouveau l’importance de l’erreur introduite par l’incertitude de la mesure de Y.

Exemple 3

Mesure de la distance angulaire entre les centres de Vénus et du Soleil.

Nous avons noté Do cette valeur.

Nous utilisons toujours le même instant t=6h 05m.

Nous pouvons calculer une valeur approchée Dc de Dp par la formule suivante (cf. formule 11 fiche n°04) :

           (5)

Pour l’instant les tableaux de données fournissent :

D = 13,7867', A = 1,9998, B = 0,6119, C = 1,3263.

Ce qui donne Dc = 14,1231', le calcul rigoureux, sans approximation donne 14,1239', soit un écart de 0,048".

Supposons que l’on observe de nouveau par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Supposons que vous mesuriez une projection Do au centre du Soleil égale à 8,97 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Do = 14,1337' avec une incertitude de DYo = 4,727" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 13 fiche n°04) :

           (6)

Le coefficient de dp0 est égal à 2,2949 et dD/dt est égal à –2,6290"/min, ce qui donne en convertissant tout en secondes de degré :

De nouveau on constate l’importance de l’incertitude de la mesure sur D.

Commentaires historiques

Quelles étaient ces valeurs pour les observations du XIXe siècle ?

L’observation photographique à l’île St-Paul en 1874.

Les plaques (110mm x 68mm) prises à l’île St-Paul par l’équipe du commandant Mouchez, produisaient une image du Soleil de l’ordre de 31mm, les mesures faites donnent le rapport suivant 1mm sur les clichés correspond à 54,4974" dans le sens horizontal et 54,402" dans le sens horizontal, les instants des clichés étaient donnés au dixième de seconde de temps. La lunette photographique avait un objectif de 135 millimètres d’ouverture et une distance focale de 3,80m, l’image du Soleil était projetée sur la plaque photographique qui se trouvait à 43mm de l’objectif. Les instants de prise de vue étaient enregistrés à l’aide d’un chronographe électrique couplé à une pendule sidérale. Au total les observateurs de l’île St-Paul ramenèrent 124 plaques daguerriennes représentant 443 poses, et 47 plaques au collodion représentant 142 poses (on effectuait plusieurs poses par plaques).

La réduction des plaques du passage de 1882.

Les mesures des 1019 plaques des passages de 1882 ont été faites de la manière suivante : les clichés étaient agrandis en même temps qu’un réseau de fils. Le réseau de fils avait pour but de mesurer les déformations des plaques, puis le bord du Soleil était pointé 64 fois et le bord de Vénus était pointé 24 fois, ces pointages étaient faits à l’aide de microscopes et la précision était de l’ordre du micron. On déduisait de ces pointés les centres des deux astres et leurs distances. On obtint finalement 900 valeurs des différences entre les valeurs mesurées et les valeurs calculées réparties sur cinq sites d’observation. Les mesures faites deux fois et par deux personnes à chaque fois correspondent à environ 400000 pointés et 500000 lectures aux micromètres et aux échelles ; l’ensemble des mesures prit plus de quinze mois !

Exemple 4

Mesure des instants des contacts intérieurs.

Par exemple le premier contact intérieur à l’observatoire de Paris.

Nous avons vu que l’équation de condition pour un contact peut s’écrire sous la forme suivante (cf. formule 13 fiche n°04) :

On peut supposer de nos jours que l’erreur des tables et l’erreur en longitude sont nulles.

L’équation devient alors :

   (7)

Pour le premier contact intérieur les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

A = 2,1970, B = 0,2237, C = 1,1206, dD/dt = –2,9394"/min.

Le calcul approché de ce contact donne tc = 5h 39m 41,9s et le calcul rigoureux donne tc = 5h 39m 48,3s, l’écart est de plusieurs secondes, il convient donc d’utiliser le calcul rigoureux dans la formule de réduction.

Le coefficient du terme dp0 est égal à : 2,2812.

Supposons que l’on mesure l’instant du contact to = 5h 39m 40s.

On a alors l’équation :

           (8)

Ce qui donne :

Les erreurs sur les demi-diamètres sont exprimées en secondes de degré.

On peut faire un calcul identique pour le dernier contact extérieur.

A = –1,0929, B = –1,1376, C = 1,9090, dD/dt = 2,9391"/min.

Le calcul approché de ce contact donne tc = 11h 4m 21,9s et le calcul rigoureux donne tc = 11h 4m 20,8s, l’écart n’est que de l’ordre d’une seconde, on utilise malgré tout le calcul rigoureux dans la formule de réduction.

Le coefficient du terme dp0 est égal à : 0,74073.

Supposons que l’on mesure l’instant du contact to = 11h 4m 18s.

On a alors l’équation :

           (9)

Ce qui donne :

On peut faire plusieurs remarques sur les valeurs obtenues :

L’erreur de mesure, qui ne porte plus que sur le temps du contact, a un effet sur le résultat bien inférieur aux erreurs de mesure des distances des exemples précédents, néanmoins si l’on désire avoir une précision de l’ordre du centième de seconde de degré avec une seule observation l’erreur en Dt doit être de l’ordre de la seconde de temps.

La mesure de la durée du phénomène s’obtient en faisant la différence des deux équations 8 et 9, on obtient alors une équation où le terme lié aux demi- diamètres disparaît  :

La combinaison des deux équations 8 et 9 permet également de calculer la précision sur la différence des demi-diamètres.

L’usage d’un grand nombre d’observations et la méthode des moindres carrés permettent de trouver les valeurs des deux inconnues (la correction de parallaxe et l’erreur sur la différence des demi-diamètres).

Valeurs des paramètres pour le passage du 8 juin 2004

Le tableau suivant donne les valeurs des paramètres j, k, l, m, n, dX/dt, dY/dt, cosw et sinw avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Toutes les valeurs sont sans dimension à l’exception de dX/dt et de dY/dt qui sont exprimées en secondes de degré par minute de temps.

T
UTC
j k l m n dX/dt"/min dY/dt"/min cosw sinw
5h05m 2.4080 -0.5784 -0.2248 -0.9360 -2.2817 -3.9161 -0.9621 -0.4232 0.9060
5h10m 2.4200 -0.5258 -0.2044 -0.9407 -2.2817 -3.9161 -0.9619 -0.4347 0.9006
5h15m 2.4309 -0.4728 -0.1838 -0.9450 -2.2817 -3.9162 -0.9617 -0.4466 0.8948
5h20m 2.4406 -0.4197 -0.1632 -0.9488 -2.2817 -3.9162 -0.9615 -0.4587 0.8886
5h25m 2.4492 -0.3664 -0.1424 -0.9521 -2.2817 -3.9163 -0.9613 -0.4711 0.8821
5h30m 2.4566 -0.3129 -0.1216 -0.9550 -2.2817 -3.9163 -0.9611 -0.4838 0.8752
5h35m 2.4629 -0.2592 -0.1008 -0.9575 -2.2817 -3.9163 -0.9609 -0.4968 0.8678
5h40m 2.4679 -0.2054 -0.0799 -0.9594 -2.2817 -3.9164 -0.9607 -0.5102 0.8601
5h45m 2.4718 -0.1515 -0.0589 -0.9610 -2.2816 -3.9164 -0.9605 -0.5238 0.8518
5h50m 2.4745 -0.0976 -0.0379 -0.9620 -2.2816 -3.9165 -0.9604 -0.5377 0.8431
5h55m 2.4761 -0.0436 -0.0170 -0.9626 -2.2816 -3.9165 -0.9602 -0.5520 0.8339
6h00m 2.4764 0.0104 0.0041 -0.9628 -2.2816 -3.9166 -0.9600 -0.5665 0.8241
6h05m 2.4756 0.0644 0.0251 -0.9625 -2.2816 -3.9166 -0.9598 -0.5813 0.8137
6h10m 2.4736 0.1184 0.0460 -0.9617 -2.2816 -3.9167 -0.9596 -0.5964 0.8027
6h15m 2.4705 0.1723 0.0670 -0.9605 -2.2816 -3.9167 -0.9594 -0.6117 0.7911
6h20m 2.4661 0.2262 0.0879 -0.9588 -2.2816 -3.9167 -0.9592 -0.6273 0.7788
6h25m 2.4606 0.2799 0.1088 -0.9567 -2.2816 -3.9168 -0.9590 -0.6432 0.7657
6h30m 2.4539 0.3335 0.1297 -0.9541 -2.2816 -3.9168 -0.9588 -0.6592 0.7520
6h35m 2.4460 0.3870 0.1505 -0.9511 -2.2816 -3.9169 -0.9586 -0.6754 0.7375
6h40m 2.4370 0.4402 0.1712 -0.9476 -2.2816 -3.9169 -0.9584 -0.6918 0.7221
6h45m 2.4268 0.4933 0.1918 -0.9436 -2.2816 -3.9170 -0.9582 -0.7082 0.7060
6h50m 2.4155 0.5461 0.2123 -0.9392 -2.2816 -3.9170 -0.9580 -0.7248 0.6890
6h55m 2.4030 0.5987 0.2328 -0.9344 -2.2816 -3.9170 -0.9578 -0.7414 0.6711
7h00m 2.3894 0.6509 0.2531 -0.9291 -2.2816 -3.9171 -0.9577 -0.7580 0.6523
7h5m 2.3746 0.7029 0.2733 -0.9234 -2.2816 -3.9171 -0.9575 -0.7745 0.6326
7h10m 2.3587 0.7545 0.2934 -0.9172 -2.2816 -3.9172 -0.9573 -0.7909 0.6119
7h15m 2.3417 0.8058 0.3133 -0.9106 -2.2816 -3.9172 -0.9571 -0.8071 0.5904
7h20m 2.3236 0.8567 0.3331 -0.9035 -2.2816 -3.9173 -0.9569 -0.8231 0.5679
7h25m 2.3043 0.9072 0.3528 -0.8961 -2.2816 -3.9173 -0.9567 -0.8388 0.5444
7h30m 2.2840 0.9572 0.3722 -0.8882 -2.2816 -3.9173 -0.9565 -0.8541 0.5201
7h35m 2.2626 1.0068 0.3915 -0.8799 -2.2815 -3.9174 -0.9563 -0.8690 0.4948
7h40m 2.2401 1.0559 0.4106 -0.8711 -2.2815 -3.9174 -0.9561 -0.8834 0.4687
7h45m 2.2165 1.1045 0.4295 -0.8620 -2.2815 -3.9175 -0.9559 -0.8971 0.4417
7h50m 2.1919 1.1526 0.4482 -0.8524 -2.2815 -3.9175 -0.9557 -0.9103 0.4140
7h55m 2.1662 1.2001 0.4667 -0.8424 -2.2815 -3.9176 -0.9555 -0.9227 0.3856
8h00m 2.1395 1.2471 0.4850 -0.8321 -2.2815 -3.9176 -0.9553 -0.9343 0.3565
8h5m 2.1118 1.2935 0.5030 -0.8213 -2.2815 -3.9176 -0.9551 -0.9451 0.3268
8h10m 2.0831 1.3392 0.5208 -0.8101 -2.2815 -3.9177 -0.9549 -0.9550 0.2966
8h15m 2.0534 1.3843 0.5384 -0.7986 -2.2815 -3.9177 -0.9548 -0.9640 0.2660
8h20m 2.0227 1.4288 0.5557 -0.7867 -2.2815 -3.9178 -0.9546 -0.9720 0.2350
8h25m 1.9911 1.4726 0.5727 -0.7744 -2.2815 -3.9178 -0.9544 -0.9790 0.2038
8h30m 1.9585 1.5157 0.5895 -0.7617 -2.2815 -3.9179 -0.9542 -0.9850 0.1725
8h35m 1.9250 1.5580 0.6060 -0.7487 -2.2815 -3.9179 -0.9540 -0.9900 0.1411
8h40m 1.8905 1.5996 0.6222 -0.7353 -2.2815 -3.9179 -0.9538 -0.9939 0.1098
8h45m 1.8552 1.6405 0.6381 -0.7216 -2.2815 -3.9180 -0.9536 -0.9969 0.0787
8h50m 1.8190 1.6806 0.6537 -0.7075 -2.2815 -3.9180 -0.9534 -0.9989 0.0477
8h55m 1.7819 1.7198 0.6689 -0.6931 -2.2815 -3.9181 -0.9532 -0.9999 0.0171
9h00m 1.7439 1.7583 0.6839 -0.6783 -2.2815 -3.9181 -0.9530 -0.9999 -0.0131
9h5m 1.7052 1.7959 0.6985 -0.6632 -2.2815 -3.9181 -0.9528 -0.9991 -0.0428
9h10m 1.6656 1.8327 0.7129 -0.6479 -2.2814 -3.9182 -0.9526 -0.9974 -0.0720
9h15m 1.6252 1.8686 0.7268 -0.6322 -2.2814 -3.9182 -0.9524 -0.9949 -0.1006
9h20m 1.5841 1.9036 0.7404 -0.6162 -2.2814 -3.9183 -0.9522 -0.9917 -0.1286
9h25m 1.5422 1.9377 0.7537 -0.5999 -2.2814 -3.9183 -0.9520 -0.9878 -0.1559
9h30m 1.4995 1.9709 0.7666 -0.5833 -2.2814 -3.9183 -0.9519 -0.9832 -0.1824
9h35m 1.4562 2.0031 0.7792 -0.5664 -2.2814 -3.9184 -0.9517 -0.9781 -0.2082
9h40m 1.4122 2.0344 0.7914 -0.5493 -2.2814 -3.9184 -0.9515 -0.9724 -0.2332
9h45m 1.3674 2.0647 0.8032 -0.5319 -2.2814 -3.9185 -0.9513 -0.9663 -0.2574
9h50m 1.3221 2.0940 0.8146 -0.5143 -2.2814 -3.9185 -0.9511 -0.9597 -0.2809
9h55m 1.2761 2.1224 0.8256 -0.4964 -2.2814 -3.9186 -0.9509 -0.9528 -0.3035
10h00m 1.2295 2.1497 0.8363 -0.4783 -2.2814 -3.9186 -0.9507 -0.9456 -0.3253
10h05m 1.1823 2.1760 0.8465 -0.4599 -2.2814 -3.9186 -0.9505 -0.9381 -0.3464
10h10m 1.1346 2.2013 0.8563 -0.4414 -2.2814 -3.9187 -0.9503 -0.9304 -0.3666
10h15m 1.0863 2.2255 0.8658 -0.4226 -2.2814 -3.9187 -0.9501 -0.9224 -0.3862
10h20m 1.0375 2.2487 0.8748 -0.4036 -2.2814 -3.9188 -0.9499 -0.9144 -0.4049
10h25m 0.9882 2.2707 0.8834 -0.3844 -2.2814 -3.9188 -0.9497 -0.9062 -0.4229
10h30m 0.9384 2.2918 0.8916 -0.3651 -2.2813 -3.9188 -0.9495 -0.8979 -0.4402
10h35m 0.8882 2.3117 0.8994 -0.3456 -2.2813 -3.9189 -0.9493 -0.8895 -0.4569
10h40m 0.8376 2.3305 0.9067 -0.3259 -2.2813 -3.9189 -0.9491 -0.8812 -0.4728
10h45m 0.7865 2.3482 0.9136 -0.3060 -2.2813 -3.9190 -0.9489 -0.8728 -0.4881
10h50m 0.7351 2.3648 0.9201 -0.2860 -2.2813 -3.9190 -0.9488 -0.8644 -0.5028
10h55m 0.6834 2.3803 0.9261 -0.2659 -2.2813 -3.9190 -0.9486 -0.8560 -0.5169
11h00m 0.6313 2.3946 0.9317 -0.2456 -2.2813 -3.9191 -0.9484 -0.8477 -0.5305
11h05m 0.5789 2.4078 0.9368 -0.2252 -2.2813 -3.9191 -0.9482 -0.8395 -0.5434
11h10m 0.5263 2.4199 0.9415 -0.2048 -2.2813 -3.9192 -0.9480 -0.8313 -0.5559
11h15m 0.4734 2.4308 0.9458 -0.1842 -2.2813 -3.9192 -0.9478 -0.8232 -0.5678
11h20m 0.4202 2.4405 0.9496 -0.1635 -2.2813 -3.9192 -0.9476 -0.8152 -0.5792
11h25m 0.3669 2.4491 0.9529 -0.1428 -2.2813 -3.9193 -0.9474 -0.8072 -0.5902
11h30m 0.3134 2.4565 0.9558 -0.1219 -2.2813 -3.9193 -0.9472 -0.7994 -0.6008
11h35m 0.2597 2.4628 0.9583 -0.1011 -2.2813 -3.9194 -0.9470 -0.7917 -0.6109

Le tableau suivant donne les valeurs des paramètres A, B, C, dD/dt, D, X et Y avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Les trois premiers paramètres sont sans dimension, dD/dt est en secondes de degré par minute de temps, D, X et Y sont en minutes de degré.

T
UTC
A B C dD/dt
"/min
D' X' Y'
5h05m 2.2768 -0.1279 0.9656 -3.1409 16.6791 15.1118 -7.0588
5h10m 2.2682 -0.0645 0.9919 -3.1085 16.4202 14.7873 -7.1385
5h15m 2.2571 -0.0011 1.0189 -3.0746 16.1641 14.4629 -7.2182
5h20m 2.2436 0.0622 1.0465 -3.0389 15.9108 14.1384 -7.2979
5h25m 2.2275 0.1254 1.0749 -3.0016 15.6606 13.8139 -7.3775
5h30m 2.2088 0.1882 1.1039 -2.9624 15.4135 13.4895 -7.4572
5h35m 2.1874 0.2507 1.1336 -2.9214 15.1697 13.1650 -7.5368
5h40m 2.1634 0.3128 1.1640 -2.8783 14.9295 12.8405 -7.6164
5h45m 2.1365 0.3742 1.1951 -2.8331 14.6928 12.5161 -7.6960
5h50m 2.1067 0.4350 1.2269 -2.7857 14.4601 12.1916 -7.7755
5h55m 2.0741 0.4950 1.2594 -2.7359 14.2313 11.8671 -7.8551
6h00m 2.0385 0.5540 1.2925 -2.6837 14.0068 11.5426 -7.9346
6h05m 1.9998 0.6119 1.3263 -2.6290 13.7867 11.2181 -8.0142
6h10m 1.9581 0.6686 1.3607 -2.5716 13.5712 10.8936 -8.0937
6h15m 1.9133 0.7239 1.3957 -2.5115 13.3607 10.5691 -8.1732
6h20m 1.8653 0.7776 1.4313 -2.4484 13.1552 10.2446 -8.2527
6h25m 1.8142 0.8297 1.4674 -2.3824 12.9550 9.9201 -8.3321
6h30m 1.7598 0.8797 1.5040 -2.3133 12.7605 9.5956 -8.4116
6h35m 1.7022 0.9277 1.5410 -2.2411 12.5718 9.2711 -8.4910
6h40m 1.6414 0.9734 1.5783 -2.1655 12.3892 8.9466 -8.5704
6h45m 1.5774 1.0166 1.6159 -2.0866 12.2131 8.6221 -8.6498
6h50m 1.5103 1.0570 1.6537 -2.0043 12.0436 8.2975 -8.7292
6h55m 1.4400 1.0945 1.6916 -1.9185 11.8811 7.9730 -8.8085
7h00m 1.3667 1.1288 1.7294 -1.8291 11.7258 7.6485 -8.8879
7h05m 1.2904 1.1598 1.7671 -1.7363 11.5781 7.3239 -8.9672
7h10m 1.2113 1.1871 1.8045 -1.6399 11.4382 6.9994 -9.0466
7h15m 1.1295 1.2107 1.8415 -1.5401 11.3064 6.6749 -9.1259
7h20m 1.0452 1.2302 1.8780 -1.4368 11.1831 6.3503 -9.2051
7h25m 0.9586 1.2455 1.9138 -1.3301 11.0684 6.0258 -9.2844
7h30m 0.8699 1.2564 1.9488 -1.2203 10.9628 5.7012 -9.3637
7h35m 0.7793 1.2628 1.9827 -1.1073 10.8663 5.3767 -9.4429
7h40m 0.6872 1.2644 2.0154 -0.9914 10.7794 5.0521 -9.5221
7h45m 0.5938 1.2612 2.0469 -0.8729 10.7021 4.7275 -9.6013
7h50m 0.4995 1.2531 2.0768 -0.7520 10.6348 4.4030 -9.6805
7h55m 0.4046 1.2400 2.1051 -0.6289 10.5776 4.0784 -9.7597
8h00m 0.3095 1.2220 2.1316 -0.5039 10.5306 3.7538 -9.8388
8h05m 0.2147 1.1989 2.1563 -0.3775 10.4941 3.4293 -9.9180
8h10m 0.1204 1.1709 2.1789 -0.2499 10.4681 3.1047 -9.9971
8h15m 0.0271 1.1380 2.1993 -0.1216 10.4527 2.7801 -10.0762
8h20m -0.0647 1.1004 2.2176 0.0071 10.4480 2.4555 -10.1553
8h25m -0.1548 1.0583 2.2336 0.1357 10.4539 2.1309 -10.2344
8h30m -0.2428 1.0118 2.2473 0.2640 10.4704 1.8063 -10.3135
8h35m -0.3282 0.9611 2.2586 0.3914 10.4976 1.4817 -10.3925
8h40m -0.4108 0.9065 2.2677 0.5177 10.5353 1.1571 -10.4715
8h45m -0.4901 0.8484 2.2744 0.6424 10.5833 0.8325 -10.5505
8h50m -0.5661 0.7869 2.2789 0.7653 10.6417 0.5079 -10.6295
8h55m -0.6383 0.7224 2.2811 0.8860 10.7101 0.1833 -10.7085
9h00m -0.7067 0.6552 2.2813 1.0043 10.7884 -0.1413 -10.7875
9h05m -0.7709 0.5857 2.2794 1.1198 10.8764 -0.4659 -10.8664
9h10m -0.8310 0.5141 2.2755 1.2324 10.9739 -0.7905 -10.9454
9h15m -0.8867 0.4409 2.2699 1.3419 11.0806 -1.1152 -11.0243
9h20m -0.9380 0.3663 2.2625 1.4482 11.1962 -1.4398 -11.1032
9h25m -0.9849 0.2905 2.2535 1.5511 11.3204 -1.7644 -11.1821
9h30m -1.0273 0.2140 2.2432 1.6506 11.4531 -2.0891 -11.2610
9h35m -1.0653 0.1370 2.2314 1.7466 11.5938 -2.4137 -11.3398
9h40m -1.0989 0.0598 2.2185 1.8390 11.7424 -2.7383 -11.4186
9h45m -1.1281 -0.0175 2.2045 1.9279 11.8985 -3.0630 -11.4975
9h50m -1.1531 -0.0945 2.1896 2.0133 12.0618 -3.3876 -11.5763
9h55m -1.1740 -0.1711 2.1738 2.0953 12.2320 -3.7123 -11.6551
10h00m -1.1908 -0.2471 2.1573 2.1738 12.4089 -4.0370 -11.7338
10h05m -1.2036 -0.3222 2.1402 2.2490 12.5921 -4.3616 -11.8126
10h10m -1.2127 -0.3964 2.1225 2.3209 12.7814 -4.6863 -11.8913
10h15m -1.2181 -0.4696 2.1044 2.3896 12.9766 -5.0109 -11.9701
10h20m -1.2200 -0.5414 2.0860 2.4553 13.1773 -5.3356 -12.0488
10h25m -1.2184 -0.6120 2.0673 2.5180 13.3833 -5.6603 -12.1275
10h30m -1.2137 -0.6811 2.0484 2.5778 13.5945 -5.9850 -12.2061
10h35m -1.2058 -0.7488 2.0293 2.6349 13.8104 -6.3096 -12.2848
10h40m -1.1950 -0.8148 2.0102 2.6893 14.0310 -6.6343 -12.3634
10h45m -1.1813 -0.8792 1.9911 2.7412 14.2560 -6.9590 -12.4421
10h50m -1.1649 -0.9419 1.9719 2.7907 14.4852 -7.2837 -12.5207
10h55m -1.1460 -1.0028 1.9529 2.8379 14.7183 -7.6084 -12.5993
11h00m -1.1247 -1.0620 1.9339 2.8828 14.9553 -7.9331 -12.6779
11h05m -1.1010 -1.1194 1.9151 2.9257 15.1960 -8.2578 -12.7564
11h10m -1.0752 -1.1749 1.8964 2.9665 15.4401 -8.5825 -12.8350
11h15m -1.0473 -1.2286 1.8779 3.0055 15.6875 -8.9072 -12.9135
11h20m -1.0175 -1.2804 1.8596 3.0426 15.9380 -9.2319 -12.9920
11h25m -0.9858 -1.3303 1.8415 3.0780 16.1916 -9.5566 -13.0705
11h30m -0.9524 -1.3783 1.8237 3.1118 16.4480 -9.8813 -13.1490
11h35m -0.9174 -1.4244 1.8061 3.1440 16.7072 -10.2060 -13.2275

Les deux tableaux suivants donnent les paramètres de réduction pour les instants des contacts et du maximum du passage géocentrique.

T
UTC
j k l m n dX/dt"/min dY/dt"/min cosw sinw
5h13m33.157s 2.4279 -0.4882 -0.1898 -0.9438 -2.2817 -3.9162 -0.9618 -0.4431 0.8965
5h32m49.815s 2.4603 -0.2825 -0.1098 -0.9565 -2.2817 -3.9163 -0.9610 -0.4911 0.8711
8h19m43.545s 2.0244 1.4264 0.5547 -0.7873 -2.2815 -3.9178 -0.9546 -0.9716 0.2367
11h6m37.141s 0.5619 2.4118 0.9384 -0.2186 -2.2813 -3.9191 -0.9481 -0.8368 -0.5475
11h25m53.846s 0.3573 2.4505 0.9535 -0.1390 -2.2813 -3.9193 -0.9474 -0.8058 -0.5921



T
UTC
A B C dD/dt"/m D' X' Y'
5h13m33.157s 2.2606 -0.0194 1.0110 -3.0846 16.2379 14.5568 -7.1951
5h32m49.815s 2.1970 0.2237 1.1206 -2.9394 15.2751 13.3058 -7.5022
8h19m43.545s -0.0597 1.1026 2.2167 0.0000 10.4480 2.4733 -10.1510
11h6m37.141s -1.0929 -1.1376 1.9090 2.9391 15.2746 -8.3629 -12.7819
11h25m53.846s -0.9799 -1.3390 1.8383 3.0842 16.2374 -9.6149 -13.0846

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