LES PASSAGES DE MERCURE ET DE VÉNUS DEVANT LE SOLEIL
FICHES PÉDAGOGIQUES: FICHE N° 07

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Fiche n°07 :
Exemples de calcul de la parallaxe à partir des observations.
Avec les données pour la réduction des observations

I. Introduction

Nous allons donner une série d’exemples de calcul de la valeur de la parallaxe à l’aide des formules que nous avons développées précédemment.

Nous allons nous placer à l’observatoire de Tokyo dont les coordonnées sont les suivantes :

φ = 35° 40' nord, λ = –139° 45' est (9h 19min est) et h = 0m.

Le rayon terrestre R est égal à : 6378,1363 km

Nous allons tenir compte de l’aplatissement terrestre f = 1/298,257.

En utilisant les formules suivantes on peut déterminer la latitude géocentrique φ' et le facteur ρ

φ' = 35° 29' 04,42" et ρ = 0,9988664551 (ρ est exprimé en rayon terrestre équatorial).

i>ρ sinφ' = 0,5798255591 et ρ cosφ' = 0,813348951 (ces deux valeurs sont exprimées en rayon terrestre équatorial).

La parallaxe équatoriale solaire π0 = 8,794143".

Exemple 1

Mesure de la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au parallèle céleste passant par le centre du Soleil.

Nous avons noté Xo cette valeur.

Pour simplifier les calculs et éviter les interpolations des tables, nous allons choisir un instant de la tabulation pour notre exemple : 23h 45m UTC

Nous allons calculer une valeur approchée Xc de Xp pour l’instant d’observation à l’aide de la formule (cf. formule 2 fiche n°04<) :

          (1)

où l’on peut développer le sinus et faire apparaître les paramètres j et k (j = –W.sin HG, k = W.cos HG).

Les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

X = 4,4347', j = –0,1475 et k = –2,4739.

Ce qui donne U = = 0,2040' et Xc = 4,6387'. Le calcul rigoureux, sans approximation, donne Xc = 4,6393' soit une différence de 0,04".

Supposons que l’on observe par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Le demi-diamètre apparent du Soleil étant de l’ordre de 945,7" la projection d’une seconde de degré mesure 0,106mm et le rayon de la projection de Vénus mesure environ 3mm. On se rend compte de la difficulté de réaliser une mesure précise. Supposons que vous mesuriez une projection Xo au centre du Soleil égale à 2,93 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Xo = 4,6182' avec une incertitude de ΔXo = 4,728" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 4 fiche n°04) :

          (2)

le coefficient de δπ0 est égal à 1,39166 et dX/dt est égal à –3,8771"/min.

La différence de la valeur observée et de la valeur calculée est de –0,0204' (–1,224"), si l’on exprime tout en secondes de degré nous trouvons :

Ce qui donne pour la parallaxe équatoriale moyenne :

Cet exemple montre l’importance de la précision dans la mesure de X et l’influence de la précision du temps d’observation. Le demi-millimètre de précision dans la mesure de X produit des incertitudes de l’ordre de 3,5 secondes de degré sur la valeur de la parallaxe ! Alors qu’une erreur d’une seconde sur l’instant d’observation ne produit qu’une incertitude de 0,04" sur la valeur de la parallaxe.

Exemple 2

Mesure de la projection de la distance des centres de Vénus et du Soleil sur la tangente au méridien céleste passant par le centre du Soleil.

Nous avons noté Yo cette valeur.

Pour simplifier les calculs et éviter les interpolations des tables, nous allons choisir le même instant de la tabulation pour notre exemple : 23h 45m UTC.

Nous allons calculer une valeur approchée Yc de Yp pour l’instant d’observation à l’aide de la formule (cf. formule 5 fiche n°04) :

          (3)

où l’on peut développer le cosinus et faire apparaître les paramètres l, m et n (Wsinδ cosHG, m = Wsinδ sinHG, n = –W cosδ)

Les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

Y = 10,7032', l = –0,9534, m = 0,0569 et n = –2,2868.

Ce qui donne V = –0.1120' et Yc = 10,5912'.

Le calcul exact sans approximation donne Yc = 10,5924' soit une différence de 0,07".

Supposons que l’on observe de nouveau par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Supposons que vous mesuriez une projection Yo au centre du Soleil égale à 6,71 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Yo = 10,5764' avec une incertitude de ΔYo = 4,728" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 7 fiche n°04) :

          (4)

Le coefficient de δπ0 est égal à –0,7640 et dY/dt est égal à ––1,0121"/min, ce qui donne en convertissant tout en secondes de degré :

On constate de nouveau l’importance de l’erreur (±6,19") introduite par l’incertitude de la mesure de Y.

Exemple 3

Mesure de la distance angulaire entre les centres de Vénus et du Soleil.

Nous avons noté Do cette valeur.

Nous utilisons toujours le même instant t = 23h 45m.

Nous pouvons calculer une valeur approchée Dc de Dp par la formule suivante (cf. formule 11 fiche n°04) :

          (5)

Pour l’instant les tableaux de données fournissent :

D = 11,5856', A = –0,9373, B = –0,8944, C = –2,1127.

Ce qui donne Dc = 11,5635', le calcul rigoureux, sans approximation donne 11,5638', soit un écart de 0,018".

Supposons que l’on observe de nouveau par projection et que le disque solaire ait un rayon de 10 cm. Supposons que vous mesuriez une projection Do au centre du Soleil égale à 7,32 cm avec une précision du demi-millimètre (0,05 cm), ce qui donne une mesure en minute de degré égale à Do = 11,5379' avec une incertitude de ΔYo = 4,728" = 0,0788'.

Pour réduire cette observation nous allons utiliser la formule suivante (cf. formule 13 fiche n°04) :

          (6)

Le coefficient de δπ0 est égal à –0.1731 et dD/dt est égal à –2,4191"/min, ce qui donne en convertissant tout en secondes de degré :

De nouveau, on constate l’importance de l’incertitude de la mesure sur D. Cette valeur importante provient de la valeur du coefficient de δπ0 qui revient à multiplier par 5,7 l’erreur de mesure ! Pour un lieu donné, on aura donc intérêt à choisir un instant de mesure qui maximalise la valeur de ce coefficient.

Commentaires historiques

Quelles étaient ces valeurs pour les observations du XIXe siècle ?

L’observation photographique à l’île St-Paul en 1874.

Les plaques (110mm x 68mm) prises à l’île St-Paul par l’équipe du commandant Mouchez, produisaient une image du Soleil de l’ordre de 31mm, les mesures faites donnent le rapport suivant 1mm sur les clichés correspond à 54,4974" dans le sens horizontal et 54,402" dans le sens horizontal, les instants des clichés étaient donnés au dixième de seconde de temps. La lunette photographique avait un objectif de 135 millimètres d’ouverture et une distance focale de 3,80m, l’image du Soleil était projetée sur la plaque photographique qui se trouvait à 43mm de l’objectif. Les instants de prise de vue étaient enregistrés à l’aide d’un chronographe électrique couplé à une pendule sidérale. Au total les observateurs de l’île St-Paul ramenèrent 124 plaques daguerriennes représentant 443 poses, et 47 plaques au collodion représentant 142 poses (on effectuait plusieurs poses par plaques).

La réduction des plaques du passage de 1882.

Les mesures des 1019 plaques des passages de 1882 ont été faites de la manière suivante : les clichés étaient agrandis en même temps qu’un réseau de fils. Le réseau de fils avait pour but de mesurer les déformations des plaques, puis le bord du Soleil était pointé 64 fois et le bord de Vénus était pointé 24 fois, ces pointages étaient faits à l’aide de microscopes et la précision était de l’ordre du micron. On déduisait de ces pointés les centres des deux astres et leurs distances. On obtint finalement 900 valeurs des différences entre les valeurs mesurées et les valeurs calculées réparties sur cinq sites d’observation. Les mesures faites deux fois et par deux personnes à chaque fois correspondent à environ 400000 pointés et 500000 lectures aux micromètres et aux échelles ; l’ensemble des mesures prit plus de quinze mois !

Exemple 4

Mesure des instants des contacts intérieurs.

Par exemple le premier contact intérieur à Tokyo.

Nous avons vu que l’équation de condition pour un contact peut s’écrire sous la forme suivante (cf. formule 13 fiche n°04) :

On peut supposer de nos jours que l’erreur des tables et l’erreur en longitude sont nulles.

L’équation devient alors :

  (7)

Pour le premier contact intérieur les tableaux de données nous fournissent les valeurs suivantes :

A = –1,3833, B = –1,1057, C = –1,7337, dD/dt = –3,2978"/min.

Le calcul approché de ce contact donne tc = 22h 28m 24,6s et le calcul rigoureux donne tc = 22h 28m 29,2s, l’écart est de plusieurs secondes, il convient donc d’utiliser le calcul rigoureux dans la formule de réduction.

Le coefficient du terme δπ0 est égal à : 0,4345.

Supposons que l’on mesure l’instant du contact to = 22h 28m 28s.

On a alors l’équation :

          (8)

Ce qui donne :

Les erreurs sur les demi-diamètres sont exprimées en secondes de degré.

On peut faire un calcul identique pour le dernier contact extérieur.

A = –2,2604, B = 0,5047, C = –0,8818, dD/dt = 3,1933"/min.

Le calcul approché de ce contact donne tc = 4h 29m 59,4s et le calcul rigoureux donne tc = 4h 29m 58,8s, l’écart n’est que de l’ordre d’une seconde, on utilise malgré tout le calcul rigoureux dans la formule de réduction.

Le coefficient du terme δπ0 est égal à : 0,6267.

Supposons que l’on mesure l’instant du contact to = 4h 29m 57,9s.

On a alors l’équation :

     (9)

Ce qui donne :

On peut faire plusieurs remarques sur les valeurs obtenues :

L’erreur de mesure, qui ne porte plus que sur le temps du contact, a un effet sur le résultat bien inférieur aux erreurs de mesure des distances des exemples précédents, néanmoins si l’on désire avoir une précision de l’ordre du centième de seconde de degré avec une seule observation l’erreur en Δt doit être de l’ordre de la seconde de temps.

La mesure de la durée du phénomène s’obtient en faisant la différence des deux équations 8 et 9, on obtient alors une équation où le terme lié aux demi- diamètres disparaît  :

La combinaison des deux équations 8 et 9 permet également de calculer la précision sur la différence des demi-diamètres.

L’usage d’un grand nombre d’observations et la méthode des moindres carrés permettent de trouver les valeurs des deux inconnues (la correction de parallaxe et l’erreur sur la différence des demi-diamètres).

Valeurs des paramètres pour le passage du 5 - 6 juin 2012

Le tableau suivant donne les valeurs des paramètres j, k, l, m, n, dX/dt, dY/dt, cosω et sinω avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Toutes les valeurs sont sans dimension à l’exception de dX/dt et de dY/dt qui sont exprimées en secondes de degré par minute de temps.

T
UTC
j k l m n dX/dt"/min dY/dt"/min cosω sinω
22h00m –1.2264 –2.1536 –0.8297 0.4725 –2.2870 –3.8761 –1.0160 0.7436 0.6686
22h05m –1.1791 –2.1798 –0.8398 0.4543 –2.2869 –3.8762 –1.0158 0.7510 0.6603
22h10m –1.1313 –2.2050 –0.8496 0.4359 –2.2869 –3.8762 –1.0156 0.7586 0.6516
22h15m –1.0829 –2.2292 –0.8589 0.4172 –2.2869 –3.8763 –1.0154 0.7663 0.6425
22h20m –1.0340 –2.2522 –0.8678 0.3984 –2.2869 –3.8763 –1.0152 0.7741 0.6330
22h25m –0.9847 –2.2743 –0.8763 0.3794 –2.2869 –3.8763 –1.0150 0.7821 0.6231
22h30m –0.9348 –2.2952 –0.8844 0.3602 –2.2869 –3.8764 –1.0149 0.7903 0.6127
22h35m –0.8845 –2.3151 –0.8920 0.3408 –2.2869 –3.8764 –1.0147 0.7986 0.6019
22h40m –0.8338 –2.3338 –0.8993 0.3213 –2.2869 –3.8765 –1.0145 0.8070 0.5905
22h45m –0.7827 –2.3514 –0.9061 0.3016 –2.2869 –3.8765 –1.0143 0.8156 0.5786
22h50m –0.7313 –2.3679 –0.9124 0.2818 –2.2869 –3.8766 –1.0141 0.8243 0.5661
22h55m –0.6794 –2.3833 –0.9184 0.2618 –2.2869 –3.8766 –1.0139 0.8331 0.5531
23h0m –0.6273 –2.3976 –0.9239 0.2417 –2.2869 –3.8767 –1.0138 0.8421 0.5394
23h5m –0.5748 –2.4107 –0.9290 0.2215 –2.2869 –3.8767 –1.0136 0.8511 0.5250
23h10m –0.5221 –2.4227 –0.9336 0.2012 –2.2869 –3.8768 –1.0134 0.8602 0.5100
23h15m –0.4691 –2.4335 –0.9378 0.1808 –2.2869 –3.8768 –1.0132 0.8693 0.4943
23h20m –0.4160 –2.4431 –0.9415 0.1603 –2.2869 –3.8769 –1.0130 0.8785 0.4777
23h25m –0.3626 –2.4516 –0.9448 0.1397 –2.2869 –3.8769 –1.0128 0.8877 0.4605
23h30m –0.3090 –2.4589 –0.9476 0.1191 –2.2869 –3.8769 –1.0126 0.8968 0.4423
23h35m –0.2553 –2.4651 –0.9500 0.0984 –2.2869 –3.8770 –1.0125 0.9059 0.4234
23h40m –0.2015 –2.4701 –0.9519 0.0776 –2.2869 –3.8770 –1.0123 0.9150 0.4035
23h45m –0.1475 –2.4739 –0.9534 0.0569 –2.2868 –3.8771 –1.0121 0.9238 0.3828
23h50m –0.0935 –2.4765 –0.9544 0.0361 –2.2868 –3.8771 –1.0119 0.9325 0.3611
23h55m –0.0395 –2.4780 –0.9550 0.0152 –2.2868 –3.8772 –1.0117 0.9410 0.3384
00h00m 0.0146 –2.4782 –0.9551 –0.0056 –2.2868 –3.8772 –1.0115 0.9492 0.3148
00h05m 0.0686 –2.4773 –0.9548 –0.0264 –2.2868 –3.8773 –1.0113 0.9570 0.2901
00h10m 0.1226 –2.4753 –0.9540 –0.0473 –2.2868 –3.8773 –1.0112 0.9644 0.2644
00h15m 0.1766 –2.4720 –0.9528 –0.0681 –2.2868 –3.8774 –1.0110 0.9713 0.2378
00h20m 0.2305 –2.4676 –0.9511 –0.0888 –2.2868 –3.8774 –1.0108 0.9777 0.2101
00h25m 0.2842 –2.4619 –0.9489 –0.1096 –2.2868 –3.8774 –1.0106 0.9834 0.1814
00h30m 0.3379 –2.4552 –0.9463 –0.1302 –2.2868 –3.8775 –1.0104 0.9884 0.1517
00h35m 0.3913 –2.4472 –0.9433 –0.1508 –2.2868 –3.8775 –1.0102 0.9926 0.1212
00h40m 0.4446 –2.4381 –0.9398 –0.1714 –2.2868 –3.8776 –1.0100 0.9960 0.0897
00h45m 0.4977 –2.4278 –0.9358 –0.1918 –2.2868 –3.8776 –1.0099 0.9984 0.0574
00h50m 0.5505 –2.4164 –0.9314 –0.2122 –2.2868 –3.8777 –1.0097 0.9997 0.0244
00h55m 0.6031 –2.4038 –0.9266 –0.2325 –2.2868 –3.8777 –1.0095 1.0000 –0.0093
01h00m 0.6554 –2.3901 –0.9213 –0.2526 –2.2868 –3.8778 –1.0093 0.9990 –0.0436
01h05m 0.7074 –2.3752 –0.9156 –0.2727 –2.2868 –3.8778 –1.0091 0.9969 –0.0783
01h10m 0.7590 –2.3592 –0.9094 –0.2926 –2.2868 –3.8778 –1.0089 0.9935 –0.1134
01h15m 0.8103 –2.3421 –0.9029 –0.3124 –2.2867 –3.8779 –1.0087 0.9889 –0.1487
01h20m 0.8612 –2.3239 –0.8958 –0.3320 –2.2867 –3.8779 –1.0086 0.9829 –0.1841
01h25m 0.9117 –2.3045 –0.8884 –0.3515 –2.2867 –3.8780 –1.0084 0.9756 –0.2193
01h30m 0.9617 –2.2841 –0.8805 –0.3708 –2.2867 –3.8780 –1.0082 0.9671 –0.2544
01h35m 1.0113 –2.2626 –0.8723 –0.3899 –2.2867 –3.8781 –1.0080 0.9573 –0.2892
01h40m 1.0604 –2.2400 –0.8636 –0.4088 –2.2867 –3.8781 –1.0078 0.9462 –0.3235
01h45m 1.1090 –2.2163 –0.8544 –0.4276 –2.2867 –3.8782 –1.0076 0.9340 –0.3572
01h50m 1.1571 –2.1916 –0.8449 –0.4461 –2.2867 –3.8782 –1.0074 0.9208 –0.3901
01h55m 1.2046 –2.1658 –0.8350 –0.4644 –2.2867 –3.8782 –1.0072 0.9065 –0.4223
02h00m 1.2516 –2.1390 –0.8247 –0.4825 –2.2867 –3.8783 –1.0071 0.8913 –0.4535
02h05m 1.2979 –2.1112 –0.8140 –0.5004 –2.2867 –3.8783 –1.0069 0.8752 –0.4837
02h10m 1.3437 –2.0824 –0.8029 –0.5181 –2.2867 –3.8784 –1.0067 0.8585 –0.5128
02h15m 1.3888 –2.0526 –0.7914 –0.5355 –2.2867 –3.8784 –1.0065 0.8411 –0.5408
02h20m 1.4332 –2.0218 –0.7795 –0.5526 –2.2867 –3.8785 –1.0063 0.8232 –0.5677
02h25m 1.4770 –1.9901 –0.7673 –0.5695 –2.2867 –3.8785 –1.0061 0.8049 –0.5933
02h30m 1.5200 –1.9574 –0.7547 –0.5861 –2.2866 –3.8785 –1.0059 0.7863 –0.6178
02h35m 1.5624 –1.9238 –0.7418 –0.6024 –2.2866 –3.8786 –1.0058 0.7675 –0.6411
02h40m 1.6040 –1.8892 –0.7285 –0.6185 –2.2866 –3.8786 –1.0056 0.7485 –0.6631
02h45m 1.6448 –1.8538 –0.7148 –0.6342 –2.2866 –3.8787 –1.0054 0.7295 –0.6840
02h50m 1.6848 –1.8175 –0.7008 –0.6497 –2.2866 –3.8787 –1.0052 0.7104 –0.7038
02h55m 1.7241 –1.7803 –0.6865 –0.6648 –2.2866 –3.8788 –1.0050 0.6915 –0.7224
03h00m 1.7625 –1.7423 –0.6718 –0.6796 –2.2866 –3.8788 –1.0048 0.6727 –0.7400
03h05m 1.8001 –1.7034 –0.6569 –0.6941 –2.2866 –3.8789 –1.0046 0.6540 –0.7565
03h10m 1.8368 –1.6637 –0.6416 –0.7083 –2.2866 –3.8789 –1.0045 0.6356 –0.7720
03h15m 1.8727 –1.6233 –0.6260 –0.7222 –2.2866 –3.8789 –1.0043 0.6175 –0.7865
03h20m 1.9076 –1.5820 –0.6101 –0.7356 –2.2866 –3.8790 –1.0041 0.5997 –0.8002
03h25m 1.9417 –1.5401 –0.5939 –0.7488 –2.2866 –3.8790 –1.0039 0.5822 –0.8130
03h30m 1.9748 –1.4973 –0.5774 –0.7616 –2.2866 –3.8791 –1.0037 0.5651 –0.8250
03h35m 2.0070 –1.4539 –0.5607 –0.7740 –2.2866 –3.8791 –1.0035 0.5483 –0.8363
03h40m 2.0382 –1.4098 –0.5437 –0.7861 –2.2865 –3.8792 –1.0033 0.5320 –0.8468
03h45m 2.0685 –1.3650 –0.5264 –0.7977 –2.2865 –3.8792 –1.0031 0.5160 –0.8566
03h50m 2.0978 –1.3195 –0.5089 –0.8090 –2.2865 –3.8792 –1.0030 0.5004 –0.8658
03h55m 2.1260 –1.2735 –0.4911 –0.8200 –2.2865 –3.8793 –1.0028 0.4852 –0.8744
04h00m 2.1533 –1.2268 –0.4731 –0.8305 –2.2865 –3.8793 –1.0026 0.4704 –0.8825
04h05m 2.1796 –1.1795 –0.4549 –0.8406 –2.2865 –3.8794 –1.0024 0.4560 –0.8900
04h10m 2.2048 –1.1317 –0.4365 –0.8504 –2.2865 –3.8794 –1.0022 0.4420 –0.8970
04h15m 2.2289 –1.0833 –0.4178 –0.8597 –2.2865 –3.8795 –1.0020 0.4284 –0.9036
04h20m 2.2520 –1.0345 –0.3990 –0.8686 –2.2865 –3.8795 –1.0018 0.4152 –0.9097
04h25m 2.2740 –0.9851 –0.3800 –0.8771 –2.2865 –3.8795 –1.0016 0.4023 –0.9155
04h30m 2.2950 –0.9353 –0.3607 –0.8852 –2.2865 –3.8796 –1.0015 0.3898 –0.9209
04h35m 2.3148 –0.8850 –0.3414 –0.8929 –2.2865 –3.8796 –1.0013 0.3777 –0.9259
04h40m 2.3336 –0.8343 –0.3218 –0.9001 –2.2865 –3.8797 –1.0011 0.3659 –0.9306
04h45m 2.3512 –0.7832 –0.3021 –0.9069 –2.2865 –3.8797 –1.0009 0.3545 –0.9351
04h50m 2.3678 –0.7317 –0.2822 –0.9133 –2.2864 –3.8798 –1.0007 0.3434 –0.9392
04h55m 2.3831 –0.6799 –0.2623 –0.9193 –2.2864 –3.8798 –1.0005 0.3326 –0.9431
05h00m 2.3974 –0.6277 –0.2422 –0.9248 –2.2864 –3.8798 –1.0003 0.3222 –0.9467

Le tableau suivant donne les valeurs des paramètres A, B, C, dD/dt, D, X et Y avec un pas de tabulation de 5 minutes de temps. Les trois premiers paramètres sont sans dimension, dD/dt est en secondes de degré par minute de temps, D, X et Y sont en minutes de degré.

T
UTC
A B C dD/dt
"/min
D' X' Y'
22h00m –1.4369 –1.0885 –1.7006 –3.3471 16.7796 11.2188 12.4778
22h05m –1.4093 –1.0981 –1.7175 –3.3222 16.5017 10.8958 12.3931
22h10m –1.3816 –1.1061 –1.7348 –3.2961 16.2260 10.5727 12.3085
22h15m –1.3539 –1.1126 –1.7524 –3.2686 15.9524 10.2497 12.2239
22h20m –1.3263 –1.1173 –1.7704 –3.2397 15.6812 9.9267 12.1393
22h25m –1.2989 –1.1204 –1.7887 –3.2093 15.4125 9.6037 12.0547
22h30m –1.2717 –1.1217 –1.8073 –3.1772 15.1464 9.2807 11.9701
22h35m –1.2447 –1.1212 –1.8263 –3.1434 14.8830 8.9576 11.8855
22h40m –1.2181 –1.1188 –1.8456 –3.1078 14.6226 8.6346 11.8010
22h45m –1.1919 –1.1145 –1.8652 –3.0702 14.3651 8.3115 11.7164
22h50m –1.1661 –1.1083 –1.8851 –3.0306 14.1109 7.9885 11.6319
22h55m –1.1409 –1.1000 –1.9053 –2.9888 13.8601 7.6654 11.5474
23h00m –1.1163 –1.0896 –1.9257 –2.9446 13.6128 7.3424 11.4629
23h05m –1.0924 –1.0772 –1.9463 –2.8980 13.3694 7.0193 11.3785
23h10m –1.0693 –1.0625 –1.9671 –2.8488 13.1299 6.6963 11.2940
23h15m –1.0471 –1.0456 –1.9880 –2.7969 12.8947 6.3732 11.2096
23h20m –1.0258 –1.0264 –2.0090 –2.7421 12.6638 6.0501 11.1251
23h25m –1.0056 –1.0048 –2.0300 –2.6842 12.4377 5.7271 11.0407
23h30m –0.9866 –0.9809 –2.0510 –2.6231 12.2166 5.4040 10.9563
23h35m –0.9687 –0.9546 –2.0718 –2.5587 12.0006 5.0809 10.8720
23h40m –0.9523 –0.9257 –2.0924 –2.4907 11.7902 4.7578 10.7876
23h45m –0.9373 –0.8944 –2.1127 –2.4191 11.5856 4.4347 10.7032
23h50m –0.9238 –0.8606 –2.1326 –2.3436 11.3871 4.1116 10.6189
23h55m –0.9120 –0.8242 –2.1519 –2.2641 11.1951 3.7885 10.5346
00h00m –0.9020 –0.7854 –2.1706 –2.1805 11.0099 3.4654 10.4503
00h05m –0.8938 –0.7440 –2.1885 –2.0926 10.8318 3.1423 10.3660
00h10m –0.8876 –0.7001 –2.2054 –2.0005 10.6613 2.8192 10.2817
00h15m –0.8835 –0.6538 –2.2212 –1.9039 10.4985 2.4961 10.1975
00h20m –0.8814 –0.6052 –2.2358 –1.8028 10.3441 2.1730 10.1132
00h25m –0.8816 –0.5543 –2.2489 –1.6972 10.1982 1.8499 10.0290
00h30m –0.8841 –0.5013 –2.2603 –1.5871 10.0613 1.5268 9.9448
00h35m –0.8889 –0.4462 –2.2699 –1.4726 9.9338 1.2036 9.8606
00h40m –0.8961 –0.3894 –2.2776 –1.3538 9.8160 0.8805 9.7764
00h45m –0.9057 –0.3309 –2.2830 –1.2308 9.7083 0.5574 9.6923
00h50m –0.9177 –0.2710 –2.2861 –1.1039 9.6110 0.2342 9.6081
00h55m –0.9322 –0.2100 –2.2867 –0.9732 9.5244 –0.0889 9.5240
01h00m –0.9490 –0.1482 –2.2846 –0.8392 9.4489 –0.4120 9.4399
01h05m –0.9682 –0.0858 –2.2797 –0.7022 9.3846 –0.7352 9.3558
01h10m –0.9897 –0.0231 –2.2720 –0.5626 9.3319 –1.0583 9.2717
01h15m –1.0133 0.0394 –2.2613 –0.4209 9.2909 –1.3815 9.1876
01h20m –1.0390 0.1014 –2.2477 –0.2776 9.2618 –1.7047 9.1036
01h25m –1.0667 0.1626 –2.2310 –0.1332 9.2447 –2.0278 9.0195
01h30m –1.0963 0.2226 –2.2115 0.0118 9.2396 –2.3510 8.9355
01h35m –1.1275 0.2811 –2.1890 0.1566 9.2466 –2.6742 8.8515
01h40m –1.1602 0.3378 –2.1638 0.3009 9.2657 –2.9973 8.7675
01h45m –1.1942 0.3922 –2.1359 0.4440 9.2968 –3.3205 8.6835
01h50m –1.2294 0.4443 –2.1055 0.5854 9.3397 –3.6437 8.5996
01h55m –1.2656 0.4936 –2.0728 0.7246 9.3943 –3.9669 8.5156
02h00m –1.3026 0.5399 –2.0381 0.8612 9.4604 –4.2901 8.4317
02h05m –1.3402 0.5832 –2.0014 0.9946 9.5377 –4.6133 8.3478
02h10m –1.3783 0.6231 –1.9631 1.1247 9.6260 –4.9365 8.2639
02h15m –1.4168 0.6597 –1.9234 1.2510 9.7250 –5.2597 8.1800
02h20m –1.4554 0.6928 –1.8825 1.3733 9.8344 –5.5829 8.0961
02h25m –1.4940 0.7224 –1.8406 1.4914 9.9538 –5.9061 8.0123
02h30m –1.5326 0.7484 –1.7981 1.6052 10.0829 –6.2293 7.9285
02h35m –1.5709 0.7709 –1.7550 1.7145 10.2212 –6.5525 7.8446
02h40m –1.6089 0.7899 –1.7115 1.8194 10.3685 –6.8757 7.7608
02h45m –1.6465 0.8054 –1.6680 1.9197 10.5243 –7.1989 7.6770
02h50m –1.6836 0.8175 –1.6245 2.0156 10.6883 –7.5222 7.5933
02h55m –1.7202 0.8264 –1.5811 2.1071 10.8601 –7.8454 7.5095
03h00m –1.7561 0.8320 –1.5381 2.1942 11.0394 –8.1686 7.4258
03h05m –1.7913 0.8346 –1.4955 2.2771 11.2257 –8.4918 7.3420
03h10m –1.8258 0.8341 –1.4535 2.3560 11.4188 –8.8151 7.2583
03h15m –1.8595 0.8308 –1.4120 2.4308 11.6183 –9.1383 7.1746
03h20m –1.8924 0.8248 –1.3713 2.5018 11.8238 –9.4616 7.0909
03h25m –1.9244 0.8161 –1.3313 2.5692 12.0352 –9.7848 7.0073
03h30m –1.9556 0.8050 –1.2921 2.6331 12.2519 –10.1081 6.9236
03h35m –1.9858 0.7914 –1.2538 2.6936 12.4739 –10.4313 6.8400
03h40m –2.0151 0.7756 –1.2164 2.7510 12.7008 –10.7546 6.7564
03h45m –2.0435 0.7576 –1.1798 2.8053 12.9323 –11.0779 6.6728
03h50m –2.0709 0.7376 –1.1441 2.8568 13.1683 –11.4011 6.5892
03h55m –2.0973 0.7157 –1.1094 2.9055 13.4084 –11.7244 6.5056
04h00m –2.1228 0.6919 –1.0756 2.9517 13.6525 –12.0477 6.4221
04h05m –2.1472 0.6664 –1.0426 2.9955 13.9003 –12.3710 6.3385
04h10m –2.1706 0.6393 –1.0106 3.0369 14.1516 –12.6942 6.2550
04h15m –2.1930 0.6106 –0.9795 3.0762 14.4064 –13.0175 6.1715
04h20m –2.2144 0.5805 –0.9493 3.1134 14.6643 –13.3408 6.0880
04h25m –2.2348 0.5490 –0.9199 3.1488 14.9252 –13.6641 6.0045
04h30m –2.2541 0.5162 –0.8913 3.1823 15.1890 –13.9874 5.9210
04h35m –2.2723 0.4822 –0.8636 3.2141 15.4555 –14.3107 5.8376
04h40m –2.2895 0.4470 –0.8367 3.2442 15.7247 –14.6340 5.7542
04h45m –2.3056 0.4108 –0.8106 3.2729 15.9962 –14.9573 5.6708
04h50m –2.3207 0.3736 –0.7852 3.3001 16.2701 –15.2806 5.5874
04h55m –2.3347 0.3354 –0.7606 3.3260 16.5462 –15.6039 5.5040
05h00m –2.3476 0.2963 –0.7367 3.3506 16.8244 –15.9273 5.4206

Les deux tableaux suivants donnent les paramètres de réduction pour les instants des contacts et du maximum du passage géocentrique.

T
UTC
j k l m n dX/dt"/min dY/dt"/min cosω sinω
22h 09m 40.776s –1.1344 –2.2034 –0.8489 0.4370 –2.2869 –3.8762 –1.0156 0.7581 0.6522
22h 27m 28.854s –0.9600 –2.2848 –0.8803 0.3699 –2.2869 –3.8764 –1.0150 0.7862 0.6180
25h 29m 35.688s 0.9577 –2.2858 –0.8812 –0.3692 –2.2867 –3.8780 –1.0082 0.9678 –0.2516
28h 31m 42.316s 2.3019 –0.9182 –0.3542 –0.8879 –2.2865 –3.8796 –1.0014 0.3856 –0.9226
28h 49m 30.414s 2.3662 –0.7368 –0.2842 –0.9127 –2.2864 –3.8797 –1.0007 0.3445 –0.9388

T
UTC
A B C dD/dt
"/min
D' X' Y'
22h 09m 40.776s –1.3833 –1.1057 –1.7337 –3.2978 16.2436 10.5934 12.3139
22h 27m 28.854s –1.2854 –1.1213 –1.7979 –3.1936 15.2801 9.4434 12.0127
25h 29m 35.688s –1.0938 0.2178 –2.2132  0.0000 9.2396 –2.3248 8.9423
28h 31m 42.316s –2.2604 0.5047 –0.8818 3.1933 15.2796 –14.0977 5.8926
28h 49m 30.414s –2.3192 0.3773 –0.7877 3.2975 16.2430 –15.2487 5.5956

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