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Comprendre > Concepts fondamentaux > Calendriers III

Détermination de la date de PAQUES



Date de la fête de Pâques. - L'importance de la date de la fête de Pâques dans la vie civile tient au fait que, en France comme dans de très nombreux pays, certaines fêtes chrétiennes mobiles sont l'occasion de jours fériés : lundi de Pâques, lundi de Pentecôte (50 jours après Pâques), jeudi de l'Ascension (dix jours avant la Pentecôte).

Cette date fait l'objet d'une définition de nature astronomique : en l'an 325, le concile de Nicée a décrété la règle suivante : Pâques est célébré le dimanche qui suit le quatorzième jour de la Lune qui atteint cet âge au 21 mars ou immédiatement après. Dans cette définition, l'expression "âge de la Lune" n'est pas prise dans son sens usuel : l'âge est compté en jours entiers, à partir du jour de la Nouvelle Lune(1), jour pour lequel il reçoit la valeur 1.

En réalité, la date de la Nouvelle Lune qui est utilisée pour l'application de la règle de Nicée n'est pas extraite des tables astronomiques, ni obtenue par l'observation directe du croissant (pratique encore en usage pour l'observation de certaines fêtes musulmanes). Elle est prise dans un calendrier lunaire, julien ou grégorien, selon le cas, établi une fois pour toutes; la distribution des Nouvelles Lunes y a été faite d'une façon empirique, avec un intervalle moyen fonction des connaissances de l'époque sur les mouvements moyens de la Lune et du Soleil.

La recherche de la date de Pâques n'est donc pas un problème astronomique, et la seule méthode rationnelle à employer consiste à utiliser les tables qui sont annexées à cette page ou, bien sûr le calcul interactif proposé à la fin.

Les calculs qui ont conduit à ces tables constituent le comput. Les lunaisons définies par les deux calendriers lunaires sont les lunaisons (juliennes ou grégoriennes) du comput. La lunaison du comput qui contient Pâques est la lune pascale.

Par construction, la date de Pâques ne peut pas se situer avant le 22 mars; elle s'y place si la lune pascale commence le 8 mars, et si le 22 mars est un dimanche.

La date la plus tardive est le 25 avril. En effet, dans le comput grégorien, une lunaison (de 29 jours) peut commencer le 7 mars et, son quatorzième jour étant le 20 mars, la lune pascale est la suivante, qui commence le 5 avril; si le 18 avril est un dimanche, Pâques tombe le dimanche suivant. Dans le comput julien, il en est de même car, s'il n'y a pas de Nouvelle Lune possible le 7 mars, une lunaison peut commencer le 6 mars, et il se trouve qu'elle dure alors 30 jours.

Le calendrier lunaire grégorien est en accord avec le mouvement moyen de la Lune; mais par suite des inégalités de ce mouvement et de la discontinuité des valeurs de la lunaison du comput (29 ou 30 jours entiers), un écart de 1 ou 2 jours est possible entre la Nouvelle Lune astronomique et la Nouvelle Lune grégorienne. Or selon que le quatorzième jour de la Lune est le 20 ou le 21 mars, la date de Pâques se trouve repoussée ou avancée d'une lunaison; ainsi cette date peut se trouver en erreur de 29, 30 ou même 31 jours relativement à la date qui serait obtenue par l'emploi des éphémérides astronomiques.

Selon une légende tenace, on affirme encore certaines années que la date des Pâques catholiques (ou protestantes, c'est la même), ou que la date des Pâques orthodoxes, se trouve retardée pour ne pas coïncider avec la date de la Pâque juive. Il n'en est absolument rien, mais la chose s'est parfois produite durant les premiers siècles. En effet la coïncidence des deux fêtes était pour les philosophes païens un sujet de dérision à l'égard des deux religions, qui prétendaient s'opposer et qui semblaient suivre la même liturgie : les événements célébrés (exode des Hébreux et résurrection du Christ) sont indépendants, mais le second s'est produit dans la semaine de la Pâque juive. Au concile de Nicée, une controverse s'éleva d'abord : "Les uns soutenaient qu'il fallait suivre la coutume des juifs; les autres prétendaient qu'il fallait examiner exactement le temps, et ne pas s'accorder avec un peuple si éloigné de la grâce de l'Ecriture" (Eusèbe(2), Vie de l'empereur Constantin, III, 5). Une troisième solution prévalut : éliminer tout risque de coïncidence; d'où la règle de Nicée, la Pâque juive étant fixée, elle, au quatorzième jour de la lunaison de printemps (ou, si ce jour était un vendredi, au lendemain samedi). Malheureusement, les israélites n'utilisent pas la Lune fictive du comput chrétien, (mais, aujourd'hui du moins, sensiblement la Lune astronomique), de sorte que l'effet recherché n'a pas été atteint; il n'a d'ailleurs plus d'objet.

Ajoutons que la règle de Nicée ne fait pas partie du dogme, et qu'il suffira d'un concile oecuménique pour la modifier lorsque l'intérêt en sera suffisamment ressenti; que d'éventuelles modifications avaient été explicitement prévues dans les actes du concile de 325; enfin que la règle elle-même n'a pas été promulguée à l'époque par le pape, mais par l'empereur Constantin, qui ne fut d'ailleurs baptisé qu'à son lit de mort, 10 ans plus tard.


 

Eléments du comput. - Le comput julien utilise deux éléments, la lettre dominicale et le nombre d'or. Le comput grégorien utilise la lettre dominicale et l'épacte, mais la connaissance du nombre d'or est aussi nécessaire, contrairement à ce qui est dit généralement. Le cycle solaire est un élément dont l'emploi est équivalent à celui de la lettre dominicale julienne. Le cinquième élément, l'indiction romaine, n'a aucun rôle dans le comput actuel; il a servi dans une ancienne chronologie chrétienne, fondée sur une division du temps en cycles successifs de 15 ans à partir de l'an 313 de l'ère chrétienne, et dans laquelle il indiquait le rang d'une année dans son cycle.

La valeur de ces éléments est donnée chaque année dans les almanachs; aussi a-t-on cru devoir la publier dans la Connaissance des Temps et dans l'Annuaire du Bureau des longitudes. En raison de cette publication, l'Annuaire du Bureau des longitudes consacrait au comput un article périodique, qui se concluait naturellement par le calcul de la date de Pâques; le texte de cet article était d'ailleurs très sensiblement la reproduction de la fin du Livre IV de la 3ème édition du Cours d'astronomie de H. Andoyer de 1923. Il s'agit d'une tradition non justifiée : les éléments du comput n'ont aucun rôle scientifique, civil, ou même religieux; ils ont servi dans le passé à établir la date de Pâques, dont les tables en annexe donnent la valeur pour une période avant la fin de laquelle la fête de Pâques sera certainement devenue, sinon fixe, du moins peu mobile; enfin leur emploi pour trouver le jour de la semaine correspondant à une date donnée, et surtout pour l'une des opérations inverses, est plus compliqué que celui du calendrier perpétuel publié ici et annuellement dans l'Annuaire du Bureau des longitudes-Ephémérides astronomiques.


 

Lettre dominicale et calendrier perpétuel. - On fait correspondre successivement chacune des lettres A, B, C, D, E, F, G à chacun des jours de l'année, en commençant par le 1er janvier avec A, et en répétant le cycle tous les sept jours. Si l'année est commune, l'opération s'effectue en une fois, et se termine avec A pour le 31 décembre. Si l'année est bissextile, l'opération s'effectue en deux temps : jusqu'au 29 février, auquel correspond D, et à partir du 1er mars, qui se voit également attribuer la lettre D. La lettre qui correspond à tout jour (défini par le mois et le quantième) de l'année est ainsi la même dans les deux cas.

Un jour de la semaine se voit affecter la même lettre tout le long d'une année commune donnée, dont la lettre dominicale est la lettre affectée aux dimanches. Pour une année bissextile, deux lettres se trouvent affectées aux dimanches, l'une au cours des deux premiers mois, l'autre au cours des dix derniers, et la seconde précède la première dans l'ordre alphabétique (ou est G si la première est A) : la lettre dominicale est alors double. Dans le calendrier grégorien, les lettres dominicales pour 1974, 1976, 1984 sont respectivement F, DC, AG.

Les tables en annexe donnent la lettre dominicale dans les calendriers julien et grégorien. Dans le premier, la lettre dominicale se retrouve au bout de 28 ans (premier nombre entier d'années contenant toujours un nombre entier de semaines); le premier multiple de 28 et de 100 est 700, d'où la disposition de la table. Dans le calendrier grégorien, la période de 28 ans cesse d'être valable lorsque la régularité de la succession des années bissextiles subit une interruption (ce qui se produit en 1700, 1800, 1900, 2100, ...); mais il se trouve que 4 siècles, période exacte de ce calendrier, contiennent ici un nombre exact de semaines; la lettre dominicale se reproduit donc à cet intervalle.

La connaissance de la lettre dominicale d'une année permet de trouver le jour de la semaine qui correspond à une date déterminée, donc d'établir un calendrier perpétuel. Le tableau I fournit pour chaque date la lettre qui correspond à cette date, selon la règle posée au début de ce paragraphe. Dans le tableau II, on trouve la colonne correspondant à l'année en cause, grâce à la lettre dominicale, figurant en tête de colonne; sur la ligne du tableau contenant dans cette colonne la lettre obtenue par le tableau I, on lit, en tête, le nom du jour cherché.

Si l'année est bissextile, la lettre dominicale est formée de deux lettres, dont la première convient pour les dates des deux premiers mois, la seconde pour les autres mois.

TABLEAU I

TABLEAU II



Cycle solaire. - Le cycle solaire est le rang d'une année dans le cycle de 28 ans d'une échelle de temps constituée par de tels cycles, et commençant arbitrairement en l'an 20 de l'ère chrétienne.

Dans le calendrier julien, comme nous l'avons vu, les jours de la semaine se retrouvent aux mêmes dates au bout de 28 ans, et notamment les dimanches, jours consacrés autrefois au Soleil; ceci est à l'origine du nom donné au cycle.

La connaissance du cycle solaire, dont les valeurs sont données ci-après en annexe, est équivalente à celle de la lettre dominicale julienne. Il existe un calendrier perpétuel fondé sur le cycle solaire, valable dans le calendrier julien, et qui pour lui joue le même rôle que le calendrier perpétuel fondé sur la lettre dominicale.


 

Nombre d'or et calendrier perpétuel julien. - Le nombre d'or est le rang d'une année dans le cycle de 19 ans d'une échelle de temps constituée par de tels cycles et commençant arbitrairement en l'an 0 de l'ère chrétienne. Il est donné ci-après en annexe jusque pour l'an 5099.

Un cycle de 19 années juliennes moyennes, ou cycle de Méton, contient presque exactement 235 lunaisons moyennes : la révolution synodique de la Lune valant 29 j 12 h 44 m 2,8 s, 235 lunaisons durent 6 939,6 882 j, alors que 19 années juliennes durent 6 939,7 500 j.

Un calendrier lunaire construit correctement pour un cycle de 19 ans demeurera valable pour les cycles suivants; les phénomènes lunaires réels avançant en fait de près de 1 h 30 m à chaque cycle, le calendrier les indiquera avec un retard qui atteindra un jour en 310 ans environ.

Le calendrier lunaire perpétuel julien remonte au VIe siècle. Il fixe, dans un cycle de 19 ans, les dates des Nouvelles Lunes juliennes, qui sont distribuées assez régulièrement pour peu s'écarter des Nouvelles Lunes astronomiques lorsqu'il y a concordance au début d'un cycle. Il comprend 115 mois lunaires de 29 jours et 130 de 30 jours, sensiblement alternés, soit au total 19 fois 365 jours.

Si l'année est bissextile, c'est par convention le mois lunaire contenant le 24 février qui est allongé d'un jour; si ce mois ne contient pas le 29 février, le début du mois lunaire suivant reculera donc d'un jour sur la date normale.

Ce calendrier lunaire figure sur la page ci-après en annexe. Il donne les dates des Nouvelles Lunes juliennes en fonction du nombre d'or; les trois dates de février mises entre parenthèses sont spéciales aux années bissextiles, comme il vient d'être dit. Les dates en italiques correspondent au début des mois lunaires de 30 jours.


 

Epacte. - L'âge de la Lune est, de façon exacte, le temps écoulé depuis l'instant de la dernière Nouvelle Lune, temps mesuré en jours. Dans ce qui suit, c'est la partie entière de cette valeur, mesurée à minuit du jour considéré, qui sera appelé âge de la Lune pour ce jour; l'âge varie ainsi de 0 à 29, la valeur 0 correspondant au jour civil de la Nouvelle Lune.

L'épacte d'une année est l'âge de la Lune au 1er janvier de cette année; il s'agit ici, non de la Lune elle-même , mais de l'objet fictif défini par le comput. La date d'une Nouvelle Lune de décembre, relevée dans les tables du calendrier lunaire perpétuel, fournit aisément l'épacte de l'année suivante.

On voit, d'après le calendrier lunaire julien, que l'épacte julienne ne peut prendre que 19 valeurs qui, le nombre d'or variant de 1 à 19, sont successivement 8, 19, 0, 11, 22, 3, 14, 25, 6, 17, 28, 9, 20, 1, 12, 23, 4, 15, 26. A un multiple de 30 près, ces valeurs forment une progression arithmétique de raison 11; de la dernière d'un cycle à la première du suivant, l'écart est de 12. Ces écarts sont issus des dates des mois lunaires de décembre; la différence entre l'année julienne moyenne et la valeur de 12 lunaisons étant sensiblement de 11 jours, les dates de la dernière colonne du calendrier lunaire ont pu être fixées de façon à ne pas interrompre la progression de raison 11 dans la succession des épactes d'un même cycle.

En 1582, la réforme grégoriennne a supprimé 10 jours du calendrier civil; les dates du calendrier lunaire devaient donc diminuer de 10. De plus l'erreur du cycle de Méton ayant donné à la Lune julienne un retard sur la Lune astronomique atteignant 3 jours (1 jour pour 3 siècles, depuis le VIe siècle), une seconde correction, de valeur +3, était à introduire. L'épacte julienne étant de 3 en 1582, l'épacte grégorienne prit la valeur 3-10+3+(30) = 26.

A partir de cette date, l'épacte grégorienne suit la loi régissant l'épacte julienne, à deux corrections près : 1° à chaque année séculaire non bissextile, il convient de retrancher un jour à l'épacte : c'est l'équation solaire de l'épacte; 2° pour compenser l'erreur du cycle de Méton, on corrige l'épacte de +1 à des intervalles conduisant à une correction moyenne de 1 jour en 310 ans, soit sept fois au bout de trois siècles et une fois au bout de quatre : c'est l'équation lunaire de l'épacte, qui a été appliquée en 1800, et le sera en 2100.

La différence entre les deux épactes a été de 23 jusqu'en 1699, de 22 de 1700 à 1899; elle est de 21 actuellement, et le demeurera jusqu'en 2199, car les équations solaire et lunaire pour l'an 2100 se compensent. Après une correction, et jusqu'à la correction suivante, les épactes grégoriennes forment une suite composée de cycles de 19 valeurs entières, comprises entre 0 et 29, en progression arithmétique de raison 11 (à un multiple de 30 près); d'un cycle à l'autre, l'épacte augmente de 12. Les cycles coïncident avec ceux des épactes juliennes. Ainsi, à partir de la valeur 26 pour l'année 1582, les épactes sont 7, 18, ..., 27, 8, 19 jusqu'en 1595; l'année 1596, qui a 1 comme nombre d'or, commence un cycle julien, et l'épacte grégorienne prend la valeur 19+12-(30) = 1; le cycle des épactes grégoriennes, pour la période 1582-1699, est ainsi la suite des 19 nombres 1, 12, 23, 4, 15, 26, 7, 18...8, 19.

Les épactes grégoriennes sont données dans les pages en annexe. Pour l'épacte 25, voir le paragraphe suivant.


 

Calendrier lunaire perpétuel grégorien. - Le calendrier est construit à partir du calendrier lunaire julien; les Nouvelles Lunes grégoriennes sont tabulées en fonction de l'épacte, qui prend toutes les valeurs de 0 à 29. Il tient compte des décalages qu'introduisent les épactes non juliennes.

Pour améliorer la régularité de la succession des Nouvelles Lunes du comput, il a été procédé à quelques transferts entre les mois de 29 et de 30 jours; on a notamment créé une épacte 25 bis, ou 25, qui est à employer à la place de l'épacte 25 si le nombre d'or est supérieur à 11. La discontinuité de +1 dans la progression de l'épacte se fait encore après que le nombre d'or a atteint la valeur 19, mais cette valeur survient ici pour une ligne quelconque du calendrier : la Nouvelle Lune de décembre de la 19ème ligne du calendrier doit être retardée d'un jour, ce qui a entraîné une redistribution des dates de cette ligne; d'autre part tous les mois de décembre, lorsque le nombre d'or se trouvera être 19, n'auront que 29 jours au lieu de 30.

Le calendrier lunaire perpétuel grégorien est donné dans les pages en annexe. Comme pour le calendrier julien, les dates en italiques sont les débuts des mois lunaires de 30 jours, et les dates entre parenthèses sont spéciales aux années bissextiles. Les dates entre crochets du mois de décembre sont celles qui conviennent aux cas où le nombre d'or est 19; l'épacte 25 est à utiliser lorsque l'épacte vaut 25 et que le nombre d'or est supérieur à 11.


 

Détermination de la date de Pâques d'une année donnée. - Dans la table du calendrier lunaire julien, chaque ligne, définie par le nombre d'or de l'année considérée, permet aisément de trouver la lune pascale, laquelle commence en mars, après le 7, ou en avril, avant le 6; on en déduit la date du 14e jour de la lune pascale. Le jour de la semaine correspondant à cette date sera obtenu par le calendrier universel  à partir de la lettre dominicale de l'année. La fête de Pâques du calendrier julien se situe au dimanche qui suit ce jour.

On évite ces opérations en utilisant directement la table pascale julienne, qui leur est équivalente, et qui a pour argument le nombre d'or et la lettre dominicale.

Dans la table du calendrier lunaire grégorien, on effectue les mêmes opérations que plus haut, mais en fonction de l'épacte grégorienne. Si celle-ci vaut 25, la lune pascale commence le 5 avril si le nombre d'or ne dépasse pas 11, et le 4 avril dans le cas contraire (épacte 25). On obtient ainsi la date de la fête de Pâques du calendrier grégorien.

On évite ces opérations en utilisant directement la table pascale grégorienne, qui leur est équivalente, et qui a pour arguments l'épacte grégorienne et la lettre dominicale; la connaissance du nombre d'or serait nécessaire si l'épacte était issue du calcul et valait 25 (voir paragraphe précédent).

Toutes ces déterminations sont de purs exercices, puisque la date du dimanche de Pâques, dans les calendriers julien et grégorien, est donnée en fonction de l'année dans les tables en annexe. La table julienne s'étend à volonté vers le passé ou le futur : la lettre dominicale et le nombre d'or ayant respectivement une période de 28 ans et de 19 ans, le dimanche de Pâques se retrouve au même jour de l'année après 28 x 19 ans = 532 ans. La table grégorienne, donnée ici jusque pour l'an 3 000, ne s'étend pas.


 

Formulaire. - Les éléments du comput et la date de Pâques peuvent faire l'objet de formules mathématiques telles que celles qui sont indiquées ci-après; elles sont données seulement à titre de curiosité puisque les tables n'en sont pas issues. La démonstration de ces formules ne demande que des connaissances d'arithmétique élémentaire; cela ne signifie pas qu'elle soit toujours simple, et Gauss, créateur du premier formulaire, avait lui-même commis une erreur dans l'expression de l'épacte grégorienne, laquelle se trouvait être incorrecte pour les années postérieures à 4199.




 

DATE DU DIMANCHE DE PÂQUES dans le calendrier julien


Dans le calendrier julien, Pâques revient périodiquement aux mêmes dates après un intervalle de 532 ans, dit cycle pascal, particularité qui permet d'étendre à n'importe quelle année julienne les dates fournies par la table ci-dessous.
Exemple. - Quand tomba Pâques en l'an 870 ? Ajoutant à 870 deux cycles pascaux, soit 532 x 2 = 1064, on obtient 1934; ce qui, à la page suivante, 8ème ligne, 5ème colonne, donne le nombre 26. En l'an 870, la date de Pâques était le 26 mars.

Dans les tables que l'on obtiendra en cliquant sur les liens proposés, les dates en italiques correspondent au mois de mars et celles en droit, au mois d'avril.
- dates du dimanche de Pâques dans le calendrier julien de 1600 à 1859
- dates du dimanche de Pâques dans le calendrier julien de 1860 à 2200

- dates du dimanche de Pâques dans le calendrier grégorien de 1583 à 1949
- dates du dimanche de Pâques dans le calendrier grégorien de 1950 à 2319
- dates du dimanche de Pâques dans le calendrier grégorien de 2320 à 2689
- dates du dimanche de Pâques dans le calendrier grégorien de 2690 à 3000


CYCLE SOLAIRE ET LETTRE DOMINICALE JULIENNE depuis l'an zéro jusqu'en l'an 5599


LETTRE DOMINICALE GREGORIENNE depuis le 15 octobre 1582 jusqu'en l'an 5099


NOMBRE D'OR depuis l'an zéro jusqu'en l'an 5099


EPACTE GREGORIENNE depuis le 15 octobre 1582 jusqu'en l'an 3299
EPACTE GREGORIENNE depuis 3300 jusqu'en l'an 5099


CALENDRIER LUNAIRE PERPETUEL JULIEN


CALENDRIER LUNAIRE PERPETUEL GREGORIEN


TABLE PASCALE JULIENNE


TABLE PASCALE GRÉGORIENNE


CALENDRIER PERPETUEL


BIBLIOGRAPHIE

Annuaire du Bureau des longitudes pour 1971, p. 407-431.
H. ANDOYER, Cours d'astronomie, 1ère partie : Astronomie théorique, 3ème éd., Paris, 1923, p. 434-447.
P. COUDERC, Le Calendrier, P.U.F., Paris 1961.
M. MONTUCCLA, Histoire des Mathématiques, t.I, Paris, 1758, p. 581-598.
J.M. OUDIN, Étude sur la date de Pâques, Bulletin astronomique, XII, 8, Paris, 1946, p. 391-410. 



Note (1) : Dans l'esprit des textes anciens, le jour de la Nouvelle Lune est le jour qui suit la nuit au cours de laquelle on a pu discerner l'apparition du premier croissant.


Note (2) : Eusèbe, évêque de Césarée (à ne pas confondre avec le pape de la même époque et qui porte le même nom), est le père du calendrier lunaire julien; il proposa au concile sa construction sur la base du cycle de Méton et obtint assez difficilement gain de cause. 


Crédit : J. Lévy/Annuaire du Bureau des longitudes




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