Seminars ASD

Secular evolution of resonant dynamical systems is one of the most
difficult problems in celestial mechanics. However, it can be efficiently
cured via the introduction of the so-called pendulum model. In this talk
I will review the background of this theory and introduce an alternative
solution that may suit better to some numerical applications.

We state a problem regarding the 3-body problem. We describe a compactification of the 3-body problem. We may relate the two.

We describe a process to reduce a (symplectic) Hamiltonian system to a contact Hamiltonian system, and relate to McGehee blow-up in the 3-body problem.

Place a point light source inside a smooth convex billiard table (or mirror). The n-th caustic by reflection is the envelope of the light rays after n reflections. Theorem: each of these caustics, for a generic point light source, has at least 4 cusps. This is a billiard version of "Jacobi’s Last Geometric Statement", concerning the number of cusps of the conjugate locus of a point on a convex surface, proved so far only in the n=1 case. I will show various proofs, using different ideas, including the curve shortening flow and Legendrian knot theory. I will also show computer experiments supporting the conjecture that for an elliptical billiard table and any position of the light source, other than the foci, the n-th caustic by reflection has exactly 4 cusps.

(Joint work with Serge Tabachnikov, part two)

For n bodies with homogeneous pair interaction we compactify every energy surface, obtaining a manifold with corners in the sense of Melrose. After a time change, the flow on it is globally defined and is non-trivial on the boundary. 
This is joint work with Richard Montgomery.

We will show that after reduction the ODE describing the Lagrange top (possibly with an added harmonic potential term) with appropriately time-dependent moments of inertia and/or potential can be transformed into the Painlevé V equation. It is well known that the Painlevé equations are Hamiltonian with time-dependent Hamiltonians, but the link to the Lagrange top appears to be new. The connection appeared through the quantisation of the Lagrange top. The Schrodinger equation for the Lagrange top is a confluent limit of a Fuchsian equation, specifically the confluent Heun equation. Painlevé V can be thought of as a "de-quantisation" of the confluent Heun equation, and for the Lagrange top these statements can be made precise.

Résumé : La théorie des sphéroïdes imbriqués permet l'étude des configurations d'équilibre d'un fluide auto-gravitant, composé de L couches homogènes en rotation rigide, séparées par des sphéroïdes elliptiques. Nous montrerons que, sauf si tous les sphéroïdes sont confocaux auquel cas les résultats sont exacts, la théorie offre des résultats approchés, qui se comparent bien avec des solutions numériques obtenues par la méthode du champ auto-cohérent. 
Nous exposerons en particulier la limite où le nombre de couches est infini, ce qui modélise un objet totalement hétérogène, intéressant pour la description des intérieurs planétaires ou stellaires. Nous montrerons que le profil de masse volumique et l'aplatissement local sont reliés par une équation intégrodifférentielle (EID), dont nous testerons l'auto-cohérence à l'aide de solutions numériques de référence. Cette EID permet de réduire le problème 3D (ou 2.5D) à deux problèmes 1D. 
Nous montrerons notamment que l'EID tend vers l'équation de Clairaut dans la limite des faibles aplatissements, ce qui nous permettra d'établir un critère pour distinguer un rotateur lent d'un rotateur rapide. Nous verrons également que des rotateurs rapides sont aisément accessibles avec cette nouvelle équation. 
Pour finir, nous mentionnerons un algorithme itératif pour résoudre l'EID de manière numérique, bien plus rapide que les méthodes usuelles (CMS, SCF, ...), au prix d'une précision légèrement réduite.

Résumé : Le positionnement GNSS (Global Navigation Satellite Systems) a vécu un renouveau grâce à la technologie Real-Time Kinematic qui permet une précision centimétrique. Celle-ci améliore l’ancienne forme du positionnement grâce à l’étude directe de la phase des ondes provenant des satellites, et non plus du code qu’elles transportent. D’ores et déjà généralisée dans l’agriculture et en topographie, cette technologie possède un dernier goulot d’étranglement : la résolution des ambiguïtés.

In galactic nuclei, the gravitational potential is dominated by the 
central supermassive black hole, so stars follow quasi-Keplerian orbits. 
These orbits are distorted by gravitational forces from other stars, 
leading to long-term orbital relaxation. The direct numerical study of 
these processes is challenging because the fast orbital motion imposed 
by the central black hole requires very small timesteps. An alternative 
approach, pioneered by Gauss, is to use the secular approximation of 
smearing out the N stars over their Keplerian orbits, using radial nodes 
along the orbits. We will present three novel improvements to this 
method. First, we re-formulate the discretisation of the rates of change 
of the variables describing the orbital states to ensure that all 
conservation laws are exactly satisfied. Second, we replace the pairwise 
sum over nodes by a multipole expansion to reduce the overall 
computational complexity. Finally, we show that the averaged dynamical 
system is equivalent to 2N interacting unit spin vectors and provide two 
time integrators: a second-order symplectic scheme and a fourth-order 
Lie-group Runge–Kutta method, both of which are straightforward to 
generalize to higher order.